經(jīng)驗(yàn)似然高階性質(zhì)的一些研究.pdf

1、經(jīng)驗(yàn)似然是一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，用于對(duì)多元均值參數(shù)和更一般地，由估計(jì)方程定義的參數(shù)，構(gòu)造置信域.自從它由Owen(1988，1990)提出以后，很多學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了深入的研究，見(jiàn)Owen(2001)以及其參考文獻(xiàn).由于它的靈活性和有效性，現(xiàn)在這個(gè)方法已經(jīng)得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用.
　　 經(jīng)驗(yàn)似然具有很多優(yōu)點(diǎn).例如，它不假定數(shù)據(jù)來(lái)自一個(gè)參數(shù)分布；不用估計(jì)方差；置信域的形狀由數(shù)據(jù)自動(dòng)決定：經(jīng)驗(yàn)似然置信域是保值的和對(duì)參數(shù)變換不變的，等等.盡管

2、如此，實(shí)踐中它仍至少有兩個(gè)問(wèn)題.其一是，經(jīng)驗(yàn)似然置信域的覆蓋精度常常不令人滿意.理論上覆蓋誤差是O(n-1)，這里n是樣本大小，不過(guò)模擬顯示一個(gè)名義置信水平是90％的經(jīng)驗(yàn)似然置信域可能只有低到83％的真實(shí)覆蓋率.其二是，在計(jì)算剖面經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)時(shí)，所求的數(shù)值問(wèn)題可能沒(méi)有解.在這種情況下，剖面經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)沒(méi)有定義，經(jīng)驗(yàn)似然方法不能用.本論文致力于解決經(jīng)驗(yàn)似然的上述兩個(gè)問(wèn)題.
　　 關(guān)于第一個(gè)問(wèn)題，人們發(fā)現(xiàn)如果經(jīng)驗(yàn)似然可Bartlet

3、t修正的話，Bartlett修正可以改進(jìn)經(jīng)驗(yàn)似然置信域的精度.通過(guò)Bartlett修正，經(jīng)驗(yàn)似然置信域的覆蓋誤差急劇的由O(n-1)減小到O(n-2).經(jīng)驗(yàn)似然在很多模型下都是可Bartlett修正的.DiCiccio，Hall and Romano(1991)揭示了如果參數(shù)可表示成樣本總體均值的光滑函數(shù)，那么經(jīng)驗(yàn)似然是可Bartlett修正的.遺憾的是，這篇文章給出的Bartlett修正因子的公式對(duì)于多維數(shù)據(jù)是不正確的，盡管對(duì)于一維數(shù)

4、據(jù)它是正確的.本論文的一個(gè)貢獻(xiàn)是指出這個(gè)錯(cuò)誤并給出正確的公式.關(guān)于線性回歸系數(shù)和分位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)間也容許Bartlett修正(Chen1993，1994，and Chen and Hall1993).Jing(1995)把經(jīng)驗(yàn)似然方法推廣到標(biāo)量觀察值的兩樣本均值問(wèn)題。并指出它仍是可Bartlett修正的.不過(guò)，Jing(1995)給了一個(gè)錯(cuò)誤的Bartlett修正因子.Liu，Zou and Zhang(2008)對(duì)于多元觀察值情

5、況用經(jīng)驗(yàn)似然方法重新研究了這個(gè)問(wèn)題，并給出了正確的Bartlett修正因子，這構(gòu)成了本論文的一部分，見(jiàn)第五章.在一般估計(jì)方程框架下，Lazar andMykland(1999)指出由帶一個(gè)冗余參數(shù)的兩個(gè)估計(jì)函數(shù)定義的經(jīng)驗(yàn)似然不一定是可Bartlett修正的.然而如果對(duì)給定的感興趣參數(shù)。冗余參數(shù)可以通過(guò)取剖面經(jīng)驗(yàn)似然而消失，那么一般估計(jì)方程框架下的經(jīng)驗(yàn)似然仍是可Bartlett修正的(Cui andChen2006，2007).總而言之，

6、對(duì)于常用的模型，經(jīng)驗(yàn)似然都是可Bartlett修正的.這意味著，這時(shí)經(jīng)驗(yàn)似然方法的精度可以通過(guò)Bartlett修正得到改進(jìn)。
　　 為了解決第二個(gè)問(wèn)題，通常的做法是，把沒(méi)有定義的剖面經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)定義為0.但是這種策略至少有兩個(gè)局限性.其一是，確定剖面經(jīng)驗(yàn)似然在哪些參數(shù)值上沒(méi)有定義是很困難的；其二是，那些似然為0的參數(shù)值的合理性是值得懷疑的.由Chen，Variyath，and Abranham(2008)引入的一種調(diào)整的經(jīng)驗(yàn)似然

7、方法徹底解決了這個(gè)問(wèn)題，而且簡(jiǎn)便易行并具有很多優(yōu)點(diǎn).本論文的又一貢獻(xiàn)是指出，通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整(依賴于通常經(jīng)驗(yàn)似然的Bartlett修正因子)，這種調(diào)整的經(jīng)驗(yàn)似然，不但保證了調(diào)整的剖面經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)的存在性，還能達(dá)到Bartlett修正過(guò)的經(jīng)驗(yàn)似然同樣的精度。
　　 盡管在理論上，Bartlett修正能夠使基于經(jīng)驗(yàn)似然和調(diào)整的經(jīng)驗(yàn)似然的置信區(qū)間的覆蓋誤差從O(n-1)減小到O(n-2)，但是模擬顯示這種方法并不如預(yù)期的那么好，特別是對(duì)

8、于小樣本.我們發(fā)現(xiàn)主要原因可能來(lái)自于通常的矩估計(jì)對(duì)Bartlett修正因子的嚴(yán)重的低估.為此，我們對(duì)Bartlett修正因子提出了一個(gè)新的估計(jì).模擬顯示這個(gè)估計(jì)比通常的矩估計(jì)具有較小的偏差.如預(yù)期的那樣，使用這個(gè)新的估計(jì)之后。所有相關(guān)的結(jié)果都得到了很大改進(jìn).
　　 當(dāng)參數(shù)是標(biāo)量的時(shí)候，一般的置信區(qū)間，如基于經(jīng)驗(yàn)似然、基于Bartlett修正過(guò)的經(jīng)驗(yàn)似然、以及基于調(diào)整過(guò)的經(jīng)驗(yàn)似然的置信區(qū)間都是雙邊置信區(qū)間。在有些情況下單邊置信區(qū)間

9、，即下側(cè)置信限或者上側(cè)置信限，更有意義些。正如文獻(xiàn)中已經(jīng)指出的那樣，基于經(jīng)驗(yàn)似然或者調(diào)整的經(jīng)驗(yàn)似然的雙邊置信區(qū)間雙側(cè)覆蓋誤差為O(N-1)，每個(gè)端點(diǎn)的單側(cè)覆蓋誤差是O(n-1/2).盡管帶Bartlerr修正的調(diào)整過(guò)的經(jīng)驗(yàn)似然或者Bartlerr修正的經(jīng)驗(yàn)似然具有很小的雙邊覆蓋誤差(O(n-2))，但是基于它們的單側(cè)置信區(qū)間的覆蓋誤差仍然是O(n-1/2).本論文的最后一個(gè)貢獻(xiàn)是，提出帶兩個(gè)偽觀察值的調(diào)整的經(jīng)驗(yàn)似然，基于這種方法的雙側(cè)置