等距的線性和延拓.pdf

1、等距是空間理論和算子理論中非常重要的研究對(duì)象之一。線性對(duì)一個(gè)算子來(lái)說(shuō)是很重要的一個(gè)性質(zhì)。Mazur-Ulam 定理給出了線性和等距算子之間的關(guān)系。在1.1 節(jié)中我們介紹了研究 Mazur-Ulam 定理的背景和歷史。在1.2節(jié)中我們主要研究了Mazur-Ulam 定理在一般的距離空間以及等距算子非滿的情況下成立的條件。Vogt 將 Mazur-Ulam 定理中的等距算子換成了保持距離等式算子，給出了類似的結(jié)論。在本節(jié)最后，我們給出了—個(gè)

2、關(guān)于Vogt的結(jié)論的推廣形式。 P．Mankiewicz 曾經(jīng)得到這樣的一個(gè)結(jié)論：設(shè)E和F都是賦范空間，A和B分別是E和p上的連通子集。若B是開的，而且等距算子V<,0>：A→B是滿的時(shí)，則V<,0>可以被延拓到全空間，而且延拓算子是仿射的。 D．Tingley 則提出了以下這個(gè)問(wèn)題，他把研究對(duì)象限制在了賦范空間的單位球面上。設(shè)E和F都是賦范空間，S(E)和S(F)分別是E和F上的單位球面．若V<,0>：S(E)→S(F

3、)是滿等距算子，那么是否存在一個(gè)線性等距算子V:E→F使得V|s(s)=V<,0>? 在2.1節(jié)中我們列舉了大部分關(guān)于Tingley問(wèn)題的結(jié)論。雖然我們已經(jīng)得到了這么多的肯定結(jié)論，但是對(duì)于Tingley問(wèn)題是否對(duì)一般的賦范空間都成立還沒(méi)有被解決。 在2.2節(jié)中我們考慮的是2-維嚴(yán)格凸空間的情況．在此節(jié)中我們用不同的方法給出了等距算子V<,0>具有線性等距延拓的充分條件．在此節(jié)最后給出了幾個(gè)例子，其中包括了非嚴(yán)格凸空間。

4、 在2.3節(jié)中我們?nèi)匀豢紤] 2-維賦范空間．只是在此節(jié)中像空間不再要求是2- 維的賦范空間。而且兩個(gè)空間也不再要求是嚴(yán)格凸的．在這些假設(shè)條件下，我們用一種新的方法給出了V<,0>具有線性等距延拓的充分條件。 在2.4節(jié)中我們用另一種方法證明了方習(xí)年和王建華的結(jié)論，設(shè) E 是任意的賦范空間，V<,0>：S(E)→S(l<'1>)是滿等距．那么V<,0>具有線性等距延拓。 在第三章我們考慮另一種延拓問(wèn)題。J．Linde

5、nstrauss and A．Pelczyinski 證明了。對(duì)任意的ε>0。以及任意的算子T：E→(K)，其中E是c<,0>的一個(gè)子空間，都有算子T′:c<,0>→C(K)使得‖T′‖≤(1+ε)‖T‖且T′|=T.由此引出了兩個(gè)概念λ-into-C(K)延拓性質(zhì)(簡(jiǎn)寫為λ-EP)和λ-一致延拓性質(zhì)(簡(jiǎn)寫為λ-UEP)．D.Speegle 引進(jìn)了一個(gè)新的概念帶常數(shù)α的性質(zhì)A．并且得到了如下定理:設(shè)E具有帶常數(shù)α的性質(zhì)A，ε<1+a/1