非線性微分方程求解的加速搜索延拓法和新外推瀑布式多網(wǎng)格法研究.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在天體物理學(xué)、量子力學(xué)等眾多領(lǐng)域，科學(xué)家們建立了越來越多的非線性微分方程模型，對其求解方法的研究也取得了豐碩的成果．本文研究了非線性微分方程求解的加速搜索延拓方法和新外推瀑布式多重網(wǎng)格法． 本文首先提出了非線性微分方程多解問題的加速搜索延拓方法，此方法的算法為：第一步，在粗網(wǎng)格上用陳傳淼和謝資清兩位教授提出的搜索延拓法求解得υh；第二步，在細(xì)網(wǎng)格上利用粗網(wǎng)格上得到的解υh把非線性問題線性化，求解得eH，從而υ

2、h+eH把粗網(wǎng)格上得到的解υh進(jìn)行第一次校正；第三步，在粗網(wǎng)格上再利用前兩層網(wǎng)格上求得的解υh，eH，把非線性問題再次線性化，求解得eh，從而υh+eH+eh使粗網(wǎng)格上得到的解uh進(jìn)行第二次校正．本文對一維半線性橢圓型方程多解計(jì)算進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，將區(qū)域剖分為4096等分，對其中一個(gè)解的計(jì)算分別用加速搜索延拓方法和搜索延拓法，當(dāng)達(dá)到相同的誤差精度時(shí)，比較了兩種方法的耗時(shí)，結(jié)果表明加速搜索延拓方法在網(wǎng)格很密時(shí)，效率非常高。對于二維半線性橢圓

3、型方程多解問題，本方法能很快算出1-4重特征值情形的多個(gè)解。 本文還研究了一類具有唯一解的半線性橢圓型方程的新外推瀑布式多重網(wǎng)格方法，其算法為：第一步，在第一層均勻網(wǎng)格上用有限元離散得到非線性方程組，再用牛頓迭代法計(jì)算其解；第二步，將網(wǎng)格均勻加密一倍，用前一層網(wǎng)格同樣的方法計(jì)算其解；第三步，將網(wǎng)格再均勻加密一倍，用前一層網(wǎng)格上的解將非線性問題線性化，再以前兩層網(wǎng)格上的解作新外推，得到一個(gè)好的初值，再進(jìn)行迭代求解；第四步，再繼續(xù)加