Markov鏈的迭代解法.pdf

1、迭代法求解線性方程組起源于十九世紀(jì)上半葉，首先由Gauss、Jacobi和Seidel等人對(duì)其進(jìn)行研究。-個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，迭代法一直是求解線性方程組的主要方法之一。近些年來(lái)，求解奇異線性方程組的迭代法越來(lái)越受到人們的重視，并為許多計(jì)算數(shù)學(xué)工作者研究，尤其是針對(duì)Markov鏈的平穩(wěn)概率向量的計(jì)算問題【5，9，14，17,20，21，22】然而，由于矩陣的奇異性所帶來(lái)的復(fù)雜性，迭代法的許多問題都未能得到很好解決.例如，如何通過矩陣分裂構(gòu)造新的

2、迭代法、已有的矩陣分裂和迭代法的半收斂條件和收斂速度、一些經(jīng)典迭代法和外推迭代法的最佳參數(shù)問題、在實(shí)際使用迭代法時(shí)如何建立可行的停機(jī)準(zhǔn)則并估計(jì)近似解的誤差界等。 　因?yàn)橐子诓⑿杏?jì)算等原因，Schwarz方法在科學(xué)計(jì)算和工程的很多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用【4，11，13，16】。但是，Schwarz方法僅局限于求解非奇異線性方程組。近來(lái)，I Marek等【9】第一次將Schwarz方法引入了奇異線性方程組的求解問題.然而，由于沒有引入其

3、它參數(shù)和定義等原因，他們提出的方法對(duì)于分裂陣和迭代陣的要求過于嚴(yán)格。 　本文一方面在文獻(xiàn)【9】的基礎(chǔ)上，利用Drazin逆給出了擬非負(fù)分裂的定義，對(duì)分裂陣的要求由非負(fù)型分裂推廣到擬非負(fù)型分裂。研究了Markov鏈的加性Schwarz迭代的收斂性及其它性質(zhì)，使這種方法更具實(shí)用性.另一方面，對(duì)一種實(shí)用的加速迭代方法-Chebyshev加速方法做了系統(tǒng)研究，討論影響該加速方法加速效果的幾種因素。 　本文共分四章。第一章，給出了

4、Markov鏈的有關(guān)概念和所需計(jì)算統(tǒng)計(jì)量-Markov鏈的平穩(wěn)概率向量。第二章，我們給出了求Markov鏈平穩(wěn)概率向量常用的迭代法，其中包括冪法、Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代、塊Jacobi方法和塊Gauss-Seidel方法以及Schwarz迭代。并給出了加性Schwarz迭代算法。第三章，研究了Markov鏈加性Schwarz迭代的半收斂陛，主要結(jié)果是：若A=I-B，B∈Rn×n是不可約列隨機(jī)陣，令p>1為正整數(shù)，

5、A=Mi-Ni為擬非負(fù)型分裂且pΣi=1EiTi≥pΣf=1(E)iTi(或EiTi≥(E)iTi),i=1，2…,p當(dāng)θ<1/q時(shí)，則加性Schwarz迭代陣Tθ半收斂.本章還證明了全解迭代陣的收斂定理.第四章，對(duì)于Chebyshev加速方法做進(jìn)一步的研究，在迭代矩陣是虧損陣的情況，討論影響Chebyshev加速方法的加速效果的幾大因素，結(jié)論表明，如果迭代矩陣的特征值分布不理想，或迭代矩陣的特征值的指標(biāo)大，或迭代矩陣的Jordan基矩