關(guān)于不適定問題的迭代Tikhonov正則化方法.pdf

1、不適定問題的來源相當(dāng)廣泛，包括病態(tài)線性方程，物性探測(cè)，掃描成像，逆時(shí)反演等多個(gè)領(lǐng)域，特別是許多反問題是不適定的．本文介紹了不適定問題正則化的一般理論，重點(diǎn)討論了求解不適定問題Kx=y(0.0.1)的迭代Tikhonov正則化方法及其擾動(dòng)方程
　　 這里K是無(wú)窮維Hilbert空間X到Y(jié)的線性緊算子，文中將參數(shù)α取為固定常數(shù)(α＞0)，這時(shí)迭代次數(shù)m起到正則化參數(shù)的作用．在實(shí)際中，這種方法比將α看作正則化參數(shù)更容易計(jì)算.文章推導(dǎo)出

2、正則濾波函數(shù)的性質(zhì)，給出正則化參數(shù)m的先驗(yàn)估計(jì)r≥0.應(yīng)用停止準(zhǔn)則給出后驗(yàn)估計(jì)，證明了誤差估計(jì)的收斂階達(dá)到最優(yōu).數(shù)值例子分別驗(yàn)證了先驗(yàn)估計(jì)和后驗(yàn)估計(jì)的理論結(jié)果，由數(shù)值結(jié)果可以看出，這種以m為正則化參數(shù)的迭代Tikhonov方法的誤差精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于一般Tikhonov方法和Landweber迭代方法.文章主要結(jié)論如下:
　　 定理1由方程(0.0.2)得到的濾波函數(shù)是正則濾波函數(shù)．定義有界線性算子Ram:Y→X是正則化策略
　

3、　 定理2(先驗(yàn)估計(jì)）K：X→Y線性緊算子．
　　 (ⅰ)由(0.0.4)定義的有界限性算子Ram:Y→X是正則化策略，并且由擾動(dòng)方程(0.0.3)迭代產(chǎn)生，每一個(gè)m(α，δ)→∞(δ→0)且δ2m(α，δ)→0是容許的．
　　 (ⅱ)如果x=(K*K)rz∈(K*K)r(X)，‖z‖≤E，0＜c1＜c2，?。畡t對(duì)每一個(gè)m(α，δ)滿足，都有如下估計(jì)式其中c＞0是依賴于c1，c2，r的常數(shù)．
　　 定理3 K：

4、X→Y是一對(duì)一的線性緊算子．令r＞1且yδ∈Y,滿足‖y-yδ‖≤δ,‖yδ‖≥rδ.序列由迭代方程(0.0.3)產(chǎn)生，其中m=0，1，2，….則有以下結(jié)論:
　　 (i)即存在最小整數(shù)m=m（δ）∈N0，滿足
　　 (ⅱ)δ2m(δ)→0，δ→0．即m(δ)的選取是容許的，所以收斂到準(zhǔn)確解x．
　　 定理4（后驗(yàn)估計(jì)）滿足定理3中的全部條件，選取α＞α0．當(dāng)x=(K*K)rz∈(K*K)r(X)，‖z‖≤E有下