關于某些算子方程算法的研究.pdf

1、隨著科學技術的發(fā)展，越來越多的問題出現(xiàn)在工程計算領域中。許多學者用各種各樣的方程來描述這些問題，除了人們熟知的帶有各式各樣復雜定解條件的微分方程、積分方程和積分-微分方程外，還出現(xiàn)了新的方程。分數(shù)階微分方程就是從生物化學，水文地質，圖像處理等問題中提出的新類型的方程。在再生核空間中，我們將這些方程寫成統(tǒng)一的算子方程形式，并討論統(tǒng)一的數(shù)值求解方法。之所以選擇再生核空間，是因為在再生核空間中討論這些問題具有較高的統(tǒng)一性。本文的工作如下：

2、r>　　首先，在實際應用中，不同的問題被不同的定解條件所限定。根據(jù)這些不同的定解條件，我們構造了相應的再生核空間，這些再生核空間中的再生核函數(shù)及其它函數(shù)滿足全部的定解條件。也就是說，一旦有了這樣的再生核空間再也不必顧及邊界條件，這樣在該空間中逼近問題就簡單了。依次構造了最基本的再生核空間，滿足三點邊值條件的再生核空間，以及適合求解偏微分方程的再生核空間，并給出再生核函數(shù)的具體求解方法。其中在求解適合偏微分方程的再生核空間的再生核函數(shù)時，

3、本文采用用內積公式直接推導再生核表達式的方式，而并非傳統(tǒng)的用兩個一維再生核空間再生核函數(shù)乘積的方式獲得再生核函數(shù)。
　　其次，我們以單投影方法為基礎對其進行改進成雙投影方法，用這兩種方法求解了第三類Fredholm積分方程。單投影方法的收斂速度不夠理想，改進后的雙投影方法大大加快了算法的收斂速度。單、雙投影方法只適用于求解線性算子方程，基于雙投影方法，構造迭代序列，給出了求解非線性算子方程的雙投影迭代方法，并以求解非線性三階三點邊

4、值問題為例證明了該算法的收斂性。
　　再次，到目前為止，據(jù)我們所知還沒有應用再生核理論求解分數(shù)階方程的文獻。本文將雙投影方法的思想加以擴展，應用于線性分數(shù)階偏微分方程的求解問題上，通過求解空間-時間分數(shù)階對流擴散方程具體給出改進的雙投影方法。
　　最后，對于求解非線性分數(shù)階方程，這里引入Adomian分解方法，將其與雙投影方法相結合。Adomian分解方法在不改變原問題的基礎上利用Adomian多項式很好的處理了非線性問題，

5、并且得到級數(shù)形式的解能夠很快收斂到真解。這種結合Adomian-雙投影分解方法既簡化了雙投影方法的運算過程，也發(fā)揮了Adomian分解方法能得到快速收斂解的優(yōu)勢，充分發(fā)揮各自方法的優(yōu)勢，有效地求解了非線性分數(shù)階方程。
　　總之，本文是以再生核理論為基礎，提出單投影方法用于求解算子方程，以該方法的思想為主線，改進形成雙投影方法，雙投影迭代法，改進的雙投影方法以及Adomian-雙投影分解方法，并將這些方法分別應用到常微分方程，偏微分