正交完備U系統(tǒng)及其應用研究.pdf

1、1983-1984年間，齊東旭教授與馮玉渝教授提出了一類新的正交完備函數(shù)系，被稱為U系統(tǒng)。U系統(tǒng)是分層次的，完整的說法是“k次U系統(tǒng)，k=0，1，2，3…”。零次U系統(tǒng)(k=0)就是walsh正交函數(shù)系，k次U系統(tǒng)是一類分段k次多項式組成的L<'2>[0，1]正交完備函數(shù)系。它包含無窮次可微的函數(shù)，更包含在[0，1]內(nèi)的點x=q/2r處出現(xiàn)各種間斷的分段函數(shù)，其中2<'r>為區(qū)間[0，1]的等分數(shù)目，q=1，2，…，2<'r>-1。U系

2、統(tǒng)囊括了光滑、強間斷與各層次的弱間斷函數(shù)，因而可以對相當廣泛的一類復雜信號做到有限且精確的表達。本文利用U系統(tǒng)的獨特性質(zhì)，研究了它的一些應用。在數(shù)字幾何中幾何造型的頻譜分析、圖形的分類與識別、工程圖數(shù)字水印以及某些圖象處理中，都表明它是可行而有效的。為這些應用問題提供了一種新的解決手段和方法，也為拓展U系統(tǒng)及其新的應用領域提供了有益的探索。 本文的主要成果包括以下五個方面： (1) 提出了U描述子的概念，給出了U描述子的

3、性質(zhì)并予以證明。同時提出了歸一化U描述子的定義，并且在理論上證明了歸一化U描述子經(jīng)幾何變換(旋轉(zhuǎn)、縮放、平移)的不變性。 (2) 提出了基于U系統(tǒng)的幾何造型頻譜分析新方法。傅立葉函數(shù)系、正交多項式函數(shù)系等由于其高光滑性，它們的有限項不能精確表達由分段多項式組成的幾何造型，諸如Gibbs現(xiàn)象就是一個嚴重的障礙。因此，它們不適合由分段多項式組成的幾何造型的頻譜分析；另外，沃爾什函數(shù)系和哈爾函數(shù)系等由于其強間斷性，它們的有限項同樣也

4、不能精確表達這些幾何造型，因而，它們也不適合于幾何造型的頻譜分析。使用U系統(tǒng)的有限項能夠?qū)崿F(xiàn)這些幾何造型的精確表達，按照這種表達，我們可以計算幾何造型的能量，因此，U系統(tǒng)適合于幾何造型的頻譜分析。在理論上，分析了幾何造型的頻譜性質(zhì)，并且通過實驗驗證了結論的正確性。 (3) 提出了基于歸一化U描述子的圖形分類與識別的新方法。隨著研究的不斷深入，出現(xiàn)了不同的圖形分類與識別的方法。如：輪廓矩不變量、傅立葉描述子、自回歸模型和基于邊界

5、特征點等方法。Kauppien比較了各種典型圖形分類與識別方法的能力，實驗表明傅立葉描述子是最佳的方法。而我們實驗表明，歸一化的U描述子能夠?qū)^廣一類幾何圖形分類與識別，與傅立葉描述子相比具有明顯的優(yōu)勢。 (4) 提出了基于U系統(tǒng)的工程圖水印技術新方法。即使經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換后，按照這種方法嵌入的水印也能夠很好的被提取。 (5) 提出了基于U系統(tǒng)的整數(shù)變換。給出U整數(shù)變換原理和算法；同時給出了理論上綜合評價