Berwald流形的射影對(duì)應(yīng)和子流形的剛性.pdf

1、本文有四部分內(nèi)容，
　　第一部分研究Berwald流形上的射影對(duì)應(yīng)．Berwald流形是第二陳曲率張量消失的Finsler流形，經(jīng)典的Beltrami定理敘述為：與常曲率流形射影對(duì)應(yīng)的黎曼流形是常曲率的，作為Beltrami定理的推廣我們證明了如下
　　定理2.1當(dāng)n>2時(shí)，與射影平坦的Berwald流形射影對(duì)應(yīng)的黎曼流形Mn是常曲率的，
　　第二部分研究de Sitter空間與偽雙曲空間形式中（或稱為反de Sitt

2、er空間）具有平行平均曲率的類空子流形，在關(guān)于子流形的第二基本量的整體Pinching條件下，利用Sobolev不等式和梯度估計(jì)的方法，研究緊致和完備非緊的具有平行平均曲率向量的類空子流形的剛性性質(zhì)，在本部分中引入一個(gè)與浸入的第二基本形式有關(guān)的跡為零的對(duì)稱二階張量Ф，使得|Ф|2=s- nH2，S和H分別表示浸入子流形的第二基本形式的模長(zhǎng)平方和平均曲率，獲得以下
　　定理3.1設(shè)M是de Sitter空間sPn+p(c)(c>o)

3、中具有平行平均曲率向量的n(>2)維緊致類空子流形，H和VolM分別表示M的平均曲率和體積，則 H2　　定理3.2設(shè)M是de Sitter空間SPn+p(c)(c>o)中具有平行平均曲率向量的n(>2)維緊致類空子流形，H是M的平均曲率，若H2

4、形，
　　定理3.3設(shè)M是偽雙曲空間形式SPn+p(c)(c　　第三部分研究Lorentz空間中具有共形第二基本形式的類空超曲面，給出了Lorentz空間中具有常中曲率和共形第二基本形式的類空超曲面的一個(gè)完全分類，我們證明了如下
　　定

5、理4.1設(shè)N1n+1(c)是一個(gè)截面曲率為c的Lorentz空間，M是N1n+1(c)中的n維類空浸入超曲面，M具有共形第二基本形式和常中曲率，則
　　(1)若N1n+1(c)為de Sitter空間S1n+1(c)(c>0)或Minkowski空間R1n+l，則 M是全臍超曲面；
　　(2)若N1n+1(c)為反de Sitter空間S1n+1(c)(c<0)，則要么M是全臍超曲面；要么M局部地是截面曲率都為2c的兩個(gè)負(fù)常

6、曲率空間的乘積，
　　第四部分研究具有有界的負(fù)截面曲率的完備單連通黎曼流形上p-形式的F-應(yīng)力能量張量，將F-調(diào)和映射的Liouville型定理推廣到向量叢值p-形式的一般情形，獲得以下
　　定理5.1設(shè)M是m維完備、單連通黎曼流形，截面曲率KM滿足_a2< KM≤_b2，a,b是正常數(shù)，設(shè)E是M上的黎曼向量叢，ω是F-應(yīng)力能量張量滿足守恒律的取值在E的p-形式，設(shè)F：[0，+∞）→[0，+∞）是C2函數(shù)，滿足 F1>O，x

7、F1(x)<(CF+1)F(x)，CF=inf{C>01F'(x)／xC非增力口}若ω的F-能量慢發(fā)散，那么當(dāng)m≥(CF+1)a/b+1時(shí)，ω三o．
　　定理5.2設(shè)M是m維完備、單連通黎曼流形，截面曲率KM滿足_+A暑≤ KM<0，A是正常數(shù)，β=1/2+1/2(1+4A)1/2，ω是F-應(yīng)力能量張量滿足守恒律的取值在E的p-形式，增函數(shù)F具有定理5.1所述的性質(zhì)，若ω的F-能量慢發(fā)散，那么當(dāng)m>β(CF+1)時(shí)，ω-0．