同倫分析法在非線性力學(xué)和金融學(xué)中的應(yīng)用.pdf

1、非線性世界千變?nèi)f化。尋求解決這些非線性問題的數(shù)學(xué)方法是一件非常有意義的工作。同倫分析法是近年來提出和發(fā)展的一種求解非線性方程級數(shù)解的解析近似方法?；诖鷶?shù)拓?fù)渲小巴瑐悺钡母拍?，同倫分析法通過構(gòu)造零階形變方程和高階形變方程將原非線性問題轉(zhuǎn)化為一系列線性子問題。與傳統(tǒng)的攝動方法相比，同倫分析法完全不依賴于物理小參數(shù)，因此不僅適用于弱非線性問題，同樣適用于強(qiáng)非線性問題。此外，同倫分析還具有諸多自由性，可以更優(yōu)雅地與物理問題本身相結(jié)合。由于這些

2、優(yōu)點(diǎn)，同倫分析法已經(jīng)廣泛地被應(yīng)用于力學(xué)、傳熱學(xué)、物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、金融學(xué)等各個自然科學(xué)與社會科學(xué)領(lǐng)域。本研究應(yīng)用同倫分析法求解了若干流體力學(xué)和金融數(shù)學(xué)中有著實際應(yīng)用價值和理論意義的問題。主要研究內(nèi)容如下： ⑴考察了波流相互問題。在深海中，一周期波行進(jìn)于一定常流之上。來流的速度剖面具有指數(shù)分布形式。從方程角度，這是一個橢圓型自由邊界問題。通過坐標(biāo)變換，將自由邊界固定，得到一個以非線性項為主的控制方程。在采用同倫分析法的時候，我們從

3、物理角度入手，充分利用同倫分析法具有諸多的自由性，選擇解表達(dá)、線性算子等。得到收斂的高階結(jié)果之后，我們重點(diǎn)研究了波流共同場中各個可能關(guān)心的物理量，仔細(xì)分析了波流相互作用的波速、波高、速度剖面、波形、水微團(tuán)動能、波幅衰減等方面的變化。指出波流相互作用的關(guān)鍵是渦量。深水波與均勻流是不會產(chǎn)生非線性相互作用的。結(jié)果表明：①波浪在順流中比靜水中傳播得快，靜水中又比逆流中傳播的快；②順流使得波峰更尖銳、波谷更平坦，逆流的作用則正好相反；③波幅和流體

4、速度在沿水深方向上的衰減速度在順流中比靜水中快、在靜水中比逆流中快。我們還將Stokes波浪破碎的運(yùn)動學(xué)條件進(jìn)行推廣，從靜水中的深水波推廣到了非均勻來流上的深水波。有逆流時，深水波可以比在靜水中更高、更陡。特別地，我們考察了純波和純流這兩個極端情況。在這兩個極端情況下，我們的的級數(shù)解與之前的理論結(jié)果吻合得很好，從一個方面驗證了本方法的有效性。 ⑵考察了粘性邊界層流動的若干具體實例。在第三章，考察了拉伸平板上的非定常滯止流動。非定

5、常邊界層方程是一個含有非線性項的拋物型方程。我們發(fā)現(xiàn)這類方程具有很大的常微分性質(zhì)。因此，在應(yīng)用同倫分析法時，我們使用的是類似常微分方程的處理方法。與攝動解相比，我們得到的高階級數(shù)解在整個時間域上一致有效。我們討論了外部勢流與平板拉伸速度對流體速度剖面與表面磨擦系數(shù)的影響。在第四章，考察了多孔介質(zhì)中垂直放置的受熱平板上駐點(diǎn)附近的非定?；旌蠈α?。同第三章一樣，求得了在整個時間域上高階一致收斂的解。并討論了混合傳導(dǎo)系數(shù)對熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的影響。在第

6、五章，考察了滑移邊界層流動。實驗和理論表明，在微觀狀態(tài)中，經(jīng)典邊界層理論中的不可滑移條件不再成立。取而代之的是允許一定程度的可滑移條件。采用廣義Navier可滑移條件，我們分別研究了三種常見的邊界層流動問題：①楔角流動：②逐漸變小狹道內(nèi)的流動；③指數(shù)變化外流驅(qū)動的流動。得到了高階收斂的級數(shù)解后，我們討論了滑移長度和其它物理參數(shù)對速度剖面與切應(yīng)力的影響。在第六章，考察了兩種常見滑移邊界層流動的傳熱問題，分別是線性Navier條件下的二維滯

7、止流；和三維軸對稱滯止流。討論了不同流體在有壁面速度滑移與溫度跳躍時的不同性質(zhì)。 ⑶考察了一種常見的金融衍生物——美式看跌期權(quán)問題。美式看跌期權(quán)的持有人可以在期權(quán)到期日前的任何一個交易日以敲定價格出售一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)。從方程角度來說美式看跌期權(quán)問題是一個具有移動邊界性質(zhì)的拋物型方程。同第二章的波流自由邊界問題相比，美式期權(quán)問題的移動邊界在到期日存在奇性。在運(yùn)用同倫分析法時，我們使用了一個復(fù)雜偏微分線性算子，結(jié)合Lapla

8、ce變換求得形式解，然后對形式解做泰勒展開近似。這個思路為以后同倫分析法求解復(fù)雜非線性問題提供了借鑒價值。與前人工作相比，本文的最大貢獻(xiàn)在于：(1)拋棄了固定移動邊界的Landau交換，或者類似的變換，而是在同倫分析法的框架下直接求解。因此，運(yùn)用該方法求解自由(移動)邊界問題具有普遍意義；(2)給出了一個在實際金融環(huán)境下足夠精確的最佳實施邊界的顯式表達(dá)式。推導(dǎo)過程中沒有進(jìn)行任何數(shù)值計算，也不包含任何待定參數(shù)；(3)近似解的收斂速度很快。