有限群的共軛類長及廣義正規(guī)子群.pdf

1、長期以來，共軛類的某些數(shù)量性質(zhì)與有限群的結(jié)構(gòu)之間的關系是有限群論研究的重要課題之一。許多群論學者都參與了這一課題的研究，而且獲得了大量的研究成果，這為有限群理論的發(fā)展起到了強有力的推動作用。在共軛類的眾多的數(shù)量性質(zhì)中，有關共軛類長與共軛類長的個數(shù)的研究非常活躍。本文則主要是圍繞以下兩方面的研究內(nèi)容進行： I．某些元素的共軛類長具有某種特定的數(shù)量性質(zhì)的有限群。 II.某些元素的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)與整個有限群的結(jié)構(gòu)之間

2、的關系。 目前人們對問題I的研究主要有兩種途徑：其一是通過減少元素的共軛類個數(shù)；其二是力圖研究某些元素的共軛類長是更為一般的數(shù)的情形。作為這兩種研究途徑的繼續(xù)，在本文中我們嘗試著把一些與I相關的已有結(jié)果作了一定的推廣，具體來說，在第三章中，我們對素數(shù)冪階p'-元的共軛類長是無平方因子數(shù)，無立方因子數(shù)或者P-數(shù)的有限群的結(jié)構(gòu)做了一定的描述，其中，p是一個素數(shù)；而在第六章中我們則研究了當有限群中所有元素的共軛類長是無立方因子數(shù)時群的

3、結(jié)構(gòu)。 眾所周知，對于II的研究，人們首先研究了所有的元素的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)的有限群；后來又研究了p-正則元的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)時所對應的p-補的結(jié)構(gòu)；近來，人們又開始對研究素數(shù)冪階元的共軛類長的個數(shù)足定數(shù)的有限群產(chǎn)生了極大的興趣。從這些研究中我們可以發(fā)現(xiàn)，如何有效地減少共軛類的個數(shù)是人們對II這一問題研究的關鍵所在。 我們知道素數(shù)冪階元是群中最基本的元素，而雙素數(shù)階元和三素數(shù)階元足僅比素數(shù)冪階元稍微復雜一點的元素

4、。在本文中我們就是利用這三種元素的共軛類長的個數(shù)來研究整個群的結(jié)構(gòu)，這是減少共軛類個數(shù)的有效手段之一，也是本博士學位論文的核心內(nèi)容。具體地來講，第四章主要研究了素數(shù)冪階元、雙素數(shù)階元和三素數(shù)階元的共軛類長的個數(shù)等于2或4時的群的結(jié)構(gòu)，從而推廣了Ito的關于具有兩個或四個共軛類長的有限群的相應結(jié)果；在第五章中，我們則詳細刻畫了具有三個特殊共軛類長的有限群的結(jié)構(gòu)，部分地推廣了Ito的關于三個共軛類長的有限群的相應結(jié)果。 從以上有關共