分形生長的控制與應用.pdf

1、分形生長是分形中重要的研究課題之一。例如煤灰微粒的凝聚、閃電的形態(tài)，以及癌細胞的擴散與凝聚等復雜而又不規(guī)則的實際聚集生長現(xiàn)象，都是分形生長的實際案例。因此，分形生長的理論研究與應用分析具有重要的理論意義和實際應用價值。
　　 然而，實際環(huán)境中的聚集生長過程總是會受到像磁場、溫度、散發(fā)潛熱的多少等許多復雜因素的影響，從而使得生長粒子的形態(tài)變化多端，或者使得生長粒子的生長速度爆發(fā)性增長，以至于給自然界和人類社會帶來很多負面的影響。因

2、此，實際環(huán)境中的聚集生長形態(tài)的預測和控制，以及生長速度的控制具有重要的現(xiàn)實意義。但是到目前為止，人們對聚集生長形態(tài)以及生長速度的控制研究，大多集中在計算機模擬和做實驗兩方面，主要方法是調整或改變模擬參數(shù)、實驗條件等。很少有從反映事物變化的數(shù)量分析出發(fā)，來研究聚集生長形態(tài)以及生長速度的控制的相關研究。
　　 本文主要涉及到下列內容：
　　 1、分形生長的環(huán)境干擾控制及其應用
　　 根據(jù)兩類著名的分形生長模型：Dif

3、fusion Limited Aggregation(DLA)模型和Dielec-tric Breakdown(DB)模型，給出了環(huán)境干擾下的分形生長控制系統(tǒng)。分析了在生長過程中，粒子凝聚概率(或凝聚濃度)與環(huán)境干擾項的定量關系。預測了分形生長表面在干擾作用區(qū)域內的凝聚情況，并隨著干擾項的制約而達到控制目的。以周期震蕩函數(shù)形式的非線性項，以及源項為常數(shù)與隨機數(shù)為例，驗證了該控制方法的有效性。另外，生長表面的標度維數(shù)變化，顯示了環(huán)境干擾項

4、對實際生長復雜度的影響。同時，應用所得的數(shù)量關系控制了薄板熱擴散中的分形生長。由此，也為進一步理解實際中非平衡生長的物理機制，以及對它在物理學、生物學、醫(yī)學、材料學等學科中的應用，提供了一定的理論依據(jù)。
　　 2、分形生長的定區(qū)域控制及其應用
　　 針對實際環(huán)境中的分形生長現(xiàn)象，給出了分形生長的定區(qū)域控制理論模型，利用范數(shù)理論，獲得了環(huán)境干擾項為更廣泛的廣義函數(shù)時，對分形生長的定區(qū)域控制的定量關系。預測了當干擾項滿足一定

5、條件時，源項能夠抑制非線性項，即源項可以控制生長粒子凝聚到不同的方位或區(qū)域，實現(xiàn)定區(qū)域的控制，以周期震蕩函數(shù)形式、多項式形式的非線性項，以及源項為常數(shù)為例，驗證了該控制的有效性。其中，生成圓形凝聚集團的分形維數(shù)要大于生成分段凝聚集團的分形維數(shù)，這意味著后者凝聚的復雜度要小于前者凝聚的復雜度。同時討論了所得的定區(qū)域控制對薄板熱擴散的作用。仿真結果表明了該控制方法是有效的、可行的。這些理論分析必將有助于我們進一步加深分形生長在很多相關領域中

6、的理解與應用。
　　 3、分形生長的速度控制
　　 引入了一個反應-擴散系統(tǒng)，分析了實際生長中的不同噪音對生長速度的影響。利用泛函偏微分方程的相關理論，獲得了不同的噪音能夠使生長速度趨于零、趨于穩(wěn)定或以不同的速度趨于無窮大等定量結論。預測了系統(tǒng)中的噪音會對分形生長的速度產生直接的影響。仿真結果分別采取常值函數(shù)、反函數(shù)、周期震蕩函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等不同形式的噪音為例，驗證了該結論的有效性，所得的定量結論對進一步理解實

7、際中各種相關的生長速度，以及理解爆發(fā)性生長問題，提供了一定的理論基礎。
　　 4、復合材料的層間位移中的分形生長和空間混沌、分岔行為
　　 另外，在一定取值范圍內的參數(shù)發(fā)生變化時，一維非線性離散Logistic動力系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。而混沌的另一個側面則是非線性的分岔行為。分岔行為蘊含著部分與整體自相似現(xiàn)象，說明此系統(tǒng)具備自相似這一典型的分形性質，也即是具有典型的分形生長特征。因此我們結合彈性力學中的位移、應變以及應力三