幾類Filippov系統(tǒng)與光滑微分系統(tǒng)的定性理論及應(yīng)用研究.pdf

1、由于數(shù)學(xué)分析工具的缺乏，右端不連續(xù)微分方程理論的發(fā)展相當(dāng)緩慢.至今，右端不連續(xù)微分方程理論的發(fā)展仍處于初級(jí)階段，很多理論都沒(méi)有得到完善.為此，本學(xué)位論文首先發(fā)展了有關(guān)右端不連續(xù)非自治廣義齊次微分方程的穩(wěn)定性理論，主要討論了右端不連續(xù)非自治廣義齊次微分方程以及一類具有不連續(xù)擾動(dòng)項(xiàng)的齊次系統(tǒng)解的收斂方式.然后，我們根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活中一些食餌和捕食者之間的接觸特征，建立了一個(gè)具有不連續(xù)功能反應(yīng)函數(shù)的食餌捕食模型，并應(yīng)用右端不連續(xù)微分方程定性理論對(duì)

2、該模型進(jìn)行了深入的研究.在本學(xué)位論文的最后兩部分，我們通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法分別討論了一類光滑的HIV雙倉(cāng)室模型和一類具有不連續(xù)激勵(lì)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平衡態(tài)的穩(wěn)定性.值得一提的是，在研究具有不連續(xù)激勵(lì)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平衡態(tài)的穩(wěn)定性時(shí)，我們獲得了在一定的條件下，平衡態(tài)是有限時(shí)間收斂的.該收斂方式在光滑的HIV倉(cāng)室模型中是不可能具有的.具體地說(shuō)，本學(xué)位論文主要分為六章.
　　在第一章中，我們首先回顧了右端不連續(xù)微分方程和

3、穩(wěn)定性理論的研究歷史和發(fā)展概況.隨后，我們逐一地介紹了不連續(xù)生物動(dòng)力學(xué)、HIV動(dòng)力學(xué)和不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的研究歷史和發(fā)展現(xiàn)狀.
　　在第二章中，我們簡(jiǎn)要地介紹了本學(xué)位論文所需的一些數(shù)學(xué)理論知識(shí)，主要包括Filippov系統(tǒng)的定性理論，如解的存在唯一性、解對(duì)初值和右端函數(shù)的依賴性、平面Filippov系統(tǒng)中不連續(xù)曲面上解的特性、∑-奇異點(diǎn)附近解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).同時(shí)，一些有關(guān)光滑動(dòng)力系統(tǒng)和Filippov系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論也在此處被列出.

4、
　　在第三章中，我們完善了右端不連續(xù)非自治廣義齊次微分方程的穩(wěn)定性理論.利用齊次微分方程的特性（收縮解仍是原方程的解）和一些運(yùn)算上的處理技巧，得到了右端不連續(xù)非自治廣義齊次微分方程解的收斂特征:齊次度為零和正的非自治廣義齊次系統(tǒng)，全局漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)分別是指數(shù)穩(wěn)定和；型穩(wěn)定的.同時(shí)，我們分析了一類具有內(nèi)外擾動(dòng)項(xiàng)的擾動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，并將其與原系統(tǒng)進(jìn)行了對(duì)比研究.結(jié)果顯示該擾動(dòng)系統(tǒng)與原系統(tǒng)具有類似的動(dòng)力學(xué)行為，當(dāng)擾動(dòng)充分小時(shí)，解

5、的收斂方式在該擾動(dòng)下是穩(wěn)定的.
　　在第四章中，我們根據(jù)在現(xiàn)實(shí)生活中一些具有比率依賴的食餌與捕食者之間的接觸特性，建立了一個(gè)比率依賴的Filippov食餌捕食模型.主要運(yùn)用右端不連續(xù)微分方程定性理論中有關(guān)∑-奇異點(diǎn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)該模型所有∑-奇異點(diǎn)的局部結(jié)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)的分析.此外，對(duì)于不同的參數(shù)，我們得到了該模型具有14種不同的全局動(dòng)力學(xué)行為.特別地，對(duì)于一定范圍內(nèi)的參數(shù)，全局穩(wěn)定的偽平衡點(diǎn)和全局有限時(shí)間穩(wěn)定的周期解是存在

6、的，并且所得的部分動(dòng)力學(xué)行為能合理地解釋部分實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)中的現(xiàn)象.
　　在第五章中，我們將構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法與LaSalle不變?cè)硐嘟Y(jié)合，分別討論了一類光滑的七維和八維HIV倉(cāng)室模型平衡態(tài)的漸近穩(wěn)定性.通過(guò)對(duì)這兩個(gè)模型的分析，我們得到了:當(dāng)基本再生數(shù)小于等于1時(shí)（即感染平衡點(diǎn)不存在），無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)（即感染平衡點(diǎn)存在），感染平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.
　　在第六章中，根據(jù)周期解是否