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文檔簡介
1、對于微分系統(tǒng)而言,它是人類解決某些實(shí)際問題的重要手段.在日常生活中,許許多多的問題經(jīng)過研究和分析可以轉(zhuǎn)化為微分系統(tǒng)問題,如,生態(tài)系統(tǒng)、控制論、電子裝置設(shè)計、彈道與飛機(jī)軌跡的定性分析、化學(xué)反應(yīng)分析、人口模型等,與天文、物理、航天等科學(xué)領(lǐng)域關(guān)聯(lián)度很高.伴隨著數(shù)百年的發(fā)展,經(jīng)過龐加萊、李亞普洛夫等全世界許多著名數(shù)學(xué)家的探索和研究,微分系統(tǒng)理論不斷得到發(fā)展和完善.其中,微分系統(tǒng)環(huán)域理論是最實(shí)用的理論之一,對平面自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)和極限環(huán)的研究有著重
2、要作用.
自Hilbert在國際報告上提出的第16個半的問題,平面自治系統(tǒng)的極限環(huán)的個數(shù)和位置問題得到廣泛的關(guān)注.隨著對Lie'nard系統(tǒng)進(jìn)行大量研究,許多研究者采用微分系統(tǒng)環(huán)域理論,在不同的條件限制下,得到了一極限環(huán)的充分性定理,而且這些定理在平面自治系統(tǒng)研究過程中的起著一定的作用.很多復(fù)雜的微分系統(tǒng)可以經(jīng)過一系列的拓?fù)渥儞Q轉(zhuǎn)化為Lie'nard系統(tǒng),再根據(jù)相關(guān)的充分性定理進(jìn)行分析研究.例如,平面二次系統(tǒng)、三次系統(tǒng)的極限環(huán)
3、就得到了較為詳細(xì)的分析,針對不同的參數(shù),許多文獻(xiàn)[1,3-7]得到了一些非常好的結(jié)論;文獻(xiàn)[8-16]通過對特殊的Hamilton擾動系統(tǒng)得到的高階系統(tǒng),計算得到了極限環(huán)個數(shù)存在的最大上界.相對而言,平面系統(tǒng)次數(shù)越高,未知參數(shù)越多,一般n次系統(tǒng)極限環(huán)的個數(shù)上界至今還沒有確定.
眾所周知,奇點(diǎn)和極限環(huán)關(guān)聯(lián)度很高,極限環(huán)的內(nèi)部必包含奇點(diǎn),且奇點(diǎn)的指數(shù)之和必為1,若要研究極限環(huán)的相對位置,必先研究奇點(diǎn)的性質(zhì).根據(jù)奇點(diǎn)指數(shù)之和判斷極限
4、環(huán)存在的相對區(qū)域,這樣就可以避開許多不必要的假設(shè).本文首先介紹了微分系統(tǒng)的歷史研究背景及相關(guān)的研究工作;其次,針對于一般的光滑平面自治系統(tǒng),采用一種技巧計算二維系統(tǒng)的高階奇點(diǎn)指數(shù),將求奇點(diǎn)指數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求方程零解的問題,得到一些新的結(jié)論;然后,研究了一類具有三個奇點(diǎn)情形的E13系統(tǒng),利用奇點(diǎn)的穩(wěn)定性與僅包含此點(diǎn)的極限環(huán)的穩(wěn)定性不能相同的結(jié)論、Hopf分支及Lie'nard系統(tǒng)的一些相關(guān)定理,給出極限環(huán)存在與唯一的幾個條件.最后討研究一
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