算子代數(shù)上的可乘映射和導子.pdf

1、導子是算子代數(shù)和算子理論中比較活躍的、有著重要的理論價值和應用價值的研究課題.近年來，許多學者關(guān)注算子代數(shù)上線性映射何時成為導子的問題，例如對于局部導子的研究，在某點可導的映射的研究等等.本文主要討論某些算子代數(shù)，如套代數(shù)、JSL代數(shù)、三角代數(shù)等上的導子、廣義Jordan導子、局部導子、在某點可導的映射等，并證明了幾類算子是某些算子代數(shù)的全可導點或全廣義可導點，從而從新的角度得到了一些判斷映射成為導子或廣義導子的充分必要條件.本文還引入

2、ξ-Lie乘積的概念，研究了ξ-Lie導子、ξ-Lie可乘映射以及ξ-Lie可乘同構(gòu)等的刻畫問題，推廣或統(tǒng)一了已知的一些成果.
　　本文主要結(jié)果如下.
　　1.證明了Banach空間套代數(shù)和J-子空間格代數(shù)的標準算子代數(shù)上的每個廣義Jordan導子都是廣義導子.
　　2.證明了J-子空間格代數(shù)AlgL上的每個局部φ-導子和每個2-局部φ-導子都是φ-導子，每個雙局部導子都是導子.
　　3.確定了套代數(shù)和JSL代數(shù)

3、上的一些全可導點和全廣義可導點.令N是復Banach空間X上的套，滿足當N_=N時N∈N在X中可補.則套代數(shù)AlgN中的單射算子和稠值域算子既是全可導點，又是全廣義可導點;值域在套N中的非平凡冪等元都是全可導點和全廣義可導點.令X是實或復Banach空間，L是X上的J-子空間格，那么當dimX＞2時，零點是JSL代數(shù)AlgL全廣義可導點但不是全可導點;當X是復空間時，單射算子和稠值域算子既是AlgL的全可導點，又是全廣義可導點.

4、　　4.討論了算子代數(shù)上ξ-Lie可乘映射的可加性.令A和A'是域F上的代數(shù)，且A包含單位元I和非平凡冪等元P.令P1=P，P2=I-P1.設ξ∈F是一個數(shù)，Φ:A→A'是ξ-Lie可乘雙射(即滿足Φ(AB-ξBA)=Φ(A)Φ(B)-ξΦ(B)Φ（A）的雙射）.如果ξ=1且A是素的，那么Φ(A+B)=Φ(A)+Φ(B)+ZA,B，其中ZA,B是A'的中心Z里的依賴于A和B的元;如果ξ≠1，A滿足條件PiAPjAPl=0或者PlAPiA

5、Pj=0蘊涵PiAPj=0(1≤ i，j，l≤2)，那么Φ是可加的.進而獲得Banach空間上標準算子代數(shù)間的ξ-Lie可乘同構(gòu)的完全刻畫.
　　5.設u=Tri（A，M，B）是三角代數(shù)，其中A和B是域F上的含單位元的代數(shù)，M是忠實的左A-模和忠實的右B-模，v是F上的任意代數(shù).設ξ∈F，Φ:u→v是ξ-Lie可乘雙射.如果ξ=1，那么對任意的S，T∈u，存在依賴于S和T的元 ZS,T∈(Z)(v)使得Φ(S+T)=Φ(S)+Φ（

6、T）+ZS，T;如果ξ≠1，那么Φ是可加的.進而給出了Banach空間套代數(shù)間的ξ-Lie可乘同構(gòu)的完全刻畫.
　　6.給出了三角代數(shù)和素代數(shù)上的可加ξ-Lie導子和可加廣義ξ-Lie導子的刻畫.設ξ∈F為一非零標量.對于三角代數(shù)u，令P是u的標準冪等元.設L是u上的（廣義）ξ-Lie導子.如果ξ=1，即如果L是一個（廣義）Lie導子，且如果P(Z)(u)P=Z（PuP），(I-P)(Z)(u)(I-P)=Z((I-P)u(I-P

7、))，那么L是一個可加（廣義）導子和一個從u到其中心的零化所有換位子的可加映射的和;如果ξ≠1，那么L是可加（廣義）導子，且滿足對任意的S∈u，有L（ξS）=ξL(S).設A是實或復的素代數(shù)，L是A上的（廣義）ξ-Lie導子.如果ξ=1，且deg(A)≥3，那么L具有形式L=δ+h，其中τ:A→AC(A的中心閉包）是一個可加（廣義）導子，h:A→C（A的擴展中心）是零化所有換位子的可加映射;如果ξ=-1，F(xiàn)的特征不為2和3，且A含單位元