幾類具有非光滑位勢(shì)的變指數(shù)拉普拉斯問題多解存在性的研究.pdf

1、變指數(shù)問題作為非線性橢圓方程研究領(lǐng)域之一，在近幾十年里引起了廣泛的關(guān)注，它來源于電子流變流體學(xué)和非線性彈性力學(xué)的研究，有著重要的物理背景，它同樣在許多科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，例如，圖像恢復(fù)模型、穩(wěn)定熱變粘性流模型和多孔介質(zhì)氣體滲透模型，目前，針對(duì)此問題的研究涌現(xiàn)出大量的研究工作，然而，大部分局限于具有光滑位勢(shì)的橢圓型偏微分方程的研究，但具有非光滑位勢(shì)的偏微分方程更能反映客觀實(shí)際現(xiàn)象，因此研究具有非光滑位勢(shì)的各種邊值的p(x)-Lapl

2、acian微分包含問題對(duì)深層次了解客觀實(shí)際現(xiàn)象具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義，
　　本文基于變指數(shù)Lebesgue空間Lp(x)和Sobolev空間W1，p(x)的基本理論，采用變分方法，應(yīng)用非光滑臨界點(diǎn)理論，分別研究了下面四類具有非光滑位勢(shì)的p(x)- Laplacian問題解的存在性和多解性：
　　(l)Dirichlet型微分包含問題(公式略)；
　　(2)全空間RN上的微分包含問題(公式略)；
　　(3)p(t)

3、-Laplacian周期微分包含系統(tǒng)(公式略)；
　　(4)非齊次Neumann邊界的微分包含問題(公式略)。
　　由于p(x)-Laplacian算子比p-Laplacian算子具有更復(fù)雜的非線性性，例如在一般情況下，它不是齊次的，而對(duì)具Dirichlet邊值條件的p(x)-Laplacian算子沒有所謂的第一特征值等等，所以一些針對(duì)p-Laplacian算子的有效方法不再適用于研究變指數(shù)問題，
　　對(duì)于第一個(gè)問題，

4、我們對(duì)兩個(gè)非平凡解或四個(gè)非平凡解存在的條件進(jìn)行了探討，首先，分別在符號(hào)條件和廣義AR條件Ⅱ兩種情況下研究了該問題至少兩個(gè)非平凡解的存在性；其次，利用截?cái)嗪瘮?shù)技巧并結(jié)合p(x)-Laplacian方程弱解的正則性理論和強(qiáng)極大值原理證明了至少四個(gè)非平凡解的存在性，
　　對(duì)于第二個(gè)問題，其工作空間是W1,p(x)（RN），由于在全空間RN上，嵌入不再是緊的，因此PS條件不滿足，為了克服緊性的缺失，目前已經(jīng)有了徑向法、加權(quán)函數(shù)法和集中緊性

5、原理，對(duì)于此問題我們主要利用推廣的緊嵌入定理來克服緊性的缺失，另外，對(duì)非光滑位勢(shì)j滿足增長(zhǎng)指數(shù)α+＜p-和零點(diǎn)附近符號(hào)條件的情況下，我們應(yīng)用Weierstrass定理和非光滑山路定理證明了該問題至少有兩個(gè)非平凡徑向解；而對(duì)于增長(zhǎng)指數(shù)α-＞p+和廣義AR條件Ⅱ的情況，直接應(yīng)用山路定理證明了至少一個(gè)非平凡徑向解的存在性，
　　對(duì)于第三個(gè)問題，由于邊界條件是周期邊界，所以Poincare不等式不能使用，為了克服這個(gè)困難，我們把空間W1,