粗糙圖與它的應用.pdf

1、上世紀20年代，由R.Nevanlinna建立的亞純函數(shù)值分布論(10年后幾何形式由L.Ahlfors建立)被認為是關于亞純函數(shù)性質(zhì)的最重要的成就之一.亞純函數(shù)值分布論在數(shù)學的其他領域有著廣泛的應用.例如：位勢論，多復變，復微分、差分和函數(shù)方程，極小曲面等. 亞純函數(shù)唯—性理論伴隨著Nevanlinna理論的發(fā)展而出現(xiàn).它主要是研究確定少數(shù)函數(shù)甚至是一個函數(shù)所需要的條件.R.Nevanlinna[39]首先給出了著名的Nevan

2、linna五值(四值)定理，即兩個亞純函數(shù)如果分擔擴充復平面上的五個(四個)判別的值.則他們相同(互為線性變換).這兩個定理是唯一性理論的起點，隨后又出現(xiàn)了大量的相關結(jié)論，如見[44].除了考慮兩個函數(shù)之外，也研究亞純函數(shù)與其導數(shù)或微分多項式的唯一性，見[44]，第八章，和亞純函數(shù)與其差分的唯—性，見[22]. 眾所周知，當n=2，3，4時，費爾馬函數(shù)方程f(z)n+g(z)n+h(z)n=1存在非常數(shù)的亞純函數(shù)解.當n≥9，W

3、.K.Hayman[21]證明費爾馬函數(shù)方程不存在非常數(shù)的亞純函數(shù)解.最近，G.G.Gundersen[14，15]考慮n=5和n=6的情況，用例子驗證了費爾馬函數(shù)方程解的存在性.但是，n=7和n=8的情況還沒有解決. 論文的結(jié)構(gòu)如下安排. 第一章，我們介紹Nevanlinna理論和一些經(jīng)常用的符號. 第二章，我們研究亞純函數(shù)與其導函數(shù)或微分多項式分擔一個小函數(shù)的唯一性，改進了Yu[50]中的一些結(jié)果并且回答了Y

4、u提出的部分問題.定理0.1.設k≥1，f為非常數(shù)亞純函數(shù)，α為f的一個小函數(shù)滿足α(z)≠0，∞.令L(f)=f(k)+αk-1f(k-1)+…+α0f，(0.0.1)其中αk-1,…，α0為多項式.如果f-a與L(f)-a分擔0CM2且2δ(0，f)+3（）(∞，f)>4，則f=L(f).定理0.2.設k≥1，f為非常數(shù)亞純函數(shù)，α為f的一個小函數(shù)滿足α(z)≠0，∞.令L(f)如(0.0.1).如果f-α與L(f)-α分擔0IM且

5、5δ(0，f)+(2k+6)()(∞，f)>2k+10，則f=L(f). 我們還考慮了亞純函數(shù)的冪與其導函數(shù)分擔一個小函數(shù)的唯—性，得到了關于Br(u)ck猜想的一些結(jié)果.定理0.3.設f為非常數(shù)亞純(整)函數(shù)，n和k為正整數(shù)，α為f的一個小函數(shù)滿足α(z)≠0，∞.如果fn-α與(fn)(k)-α分擔0CM且n>k+1+()k+1(n>k+1)，則fn=(fn)(k)，且f(z)=ceλ/nz,(0.0.2)其中c為非零常數(shù)，

6、λk=1。 在上述定理中，如果α(z)=1，f為整函數(shù)，則定理0.4.設f為非常數(shù)整函數(shù)，n和k為正整數(shù).如果fn與(fn)(k)分擔1CM且n≥k+1，則fn=(fn)(k)，且f滿足(0.0.2). 定理0.4表明當F=fn時，其中n≥2為正整數(shù)，f為非常數(shù)整函數(shù)，Bruck猜想成立.由GundersenandYang[16]給的一個例子表明上述條件中n≥2是必要的. 第三章研究兩個多項式分擔一個小函數(shù).我們

7、改進或者推廣了由Hayman，Clunie，F(xiàn)ang-Hua，Yang-Hua，F(xiàn)ang-Qiu，Lin-Yi等給出的一些結(jié)果.我們得到：定理0.5.設f為有有限個極點的超越亞純函數(shù)，g超越整函數(shù)，n，k為兩個正整數(shù)滿足n≥2k+6.如果(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)分擔1CM，則f=g.定理0.6.設f和g為兩個非常數(shù)整函數(shù)，n，k為兩個正整數(shù)滿足n＞2k+4.如果(fn)(k)與(gn)(k)分擔zCM,則或者(

8、1)k=1，f(z)=c1ecz2，g(z)=c2e-cz2，其中c1，c2與c為三個常數(shù)滿足4(c1c2)n(nc)2=-1或者(2)f=tg，其中t為常數(shù)滿足tn=1. 第四章研究費爾馬函數(shù)方程.我們將用Nevanlinna理論證明上述費爾馬函數(shù)方程當n≥9時沒有非常數(shù)亞純解.證明方法與Hayman的很不一樣. 第五章我們討論亞純函數(shù)與其平移分擔值.J.Heittokangas，R.Korhonen，I.Lainea