泛函分析基礎(chǔ)命題的改進(jìn).pdf

1、閉圖象定理、開映射定理和等度連續(xù)定理(蘊(yùn)涵一致有界原理即共鳴定理)是泛函分析理論的三大基本原理。泛函分析非常依賴Baire綱定理和Hahn-Banach延拓定理，但前者是一般拓?fù)鋵W(xué)的命題而后者則正如W. Orlicz與我國(guó)學(xué)者夏道行所明確指出，是純代數(shù)的。
　　經(jīng)典的泛函分析三大基本原理有一個(gè)共同點(diǎn)就是所處理的映射只限于過分理想的線性算子，所以三大基本原理不適用于非線性映射。這就使三大基本原理的理論價(jià)值與應(yīng)用都受到了很大的限制。于

2、是人們推廣和改進(jìn)三大基本原理的艱苦努力持續(xù)了60多年之久，然而泛函分析的三大基本原理雖經(jīng)60多年的推廣與改進(jìn)但就其本質(zhì)而言至今仍停留在經(jīng)典命題的理論水平上。本論文對(duì)泛函分析的三大基本原理作出了實(shí)質(zhì)性的全面改進(jìn)。事實(shí)上，本論文對(duì)三類很大的映射族分別建立了三大基本原理，這三類映射族每個(gè)都包含經(jīng)典原理所處理的全部線性算子特別是每個(gè)類中的非線性映射不少于線性算子。從此泛函分析三大基本原理被提升為將線性分析作為特例的更具普遍意義的所謂泛線性分析的

3、基本原理，從而使三大基本原理的理論價(jià)值與應(yīng)用范圍分別提升和擴(kuò)大到新的高度。在新三大基本原理的基礎(chǔ)上線性對(duì)偶理論已開拓成為泛線性對(duì)偶理論，特別是泛線性廣義函數(shù)理論給出了一些頗具新意的結(jié)論，新的開映射定理也給出了一些頗有理論價(jià)值與現(xiàn)實(shí)意義的結(jié)果。
　　本研究的指導(dǎo)思想是：盡可能地反映現(xiàn)實(shí)生活。例如，線性算子作絕對(duì)的精確解剖：f(x+tz)=f(x)+tf(z),▽x,z∈X, ▽t∈C，這里絕對(duì)性指“▽x,z∈X,▽t∈C”，精確性則

4、指x+tz中的系數(shù)1與t準(zhǔn)確無誤地出現(xiàn)在解剖結(jié)果上。但現(xiàn)實(shí)中的解剖現(xiàn)象往往不是如此的絕對(duì)精確。為反映這不理想的現(xiàn)實(shí)，我們界定了解剖映射：對(duì)每個(gè)x∈X, f(x+tu)=rf(x)+sf(u)，其中u只限于在某一0點(diǎn)鄰域中變動(dòng)，t只限于|t|≤1，|r-1|與|s-t|則受到|t|的簡(jiǎn)單控制。因此解剖映射族是線性算子族的非常自然的大擴(kuò)充，新的等度連續(xù)定理正是對(duì)解剖映射族建立的。又如線性算子具有絕對(duì)精確的可加性：f(x)+f(z)=f(x+