實變函數(shù)與泛函分析基礎第三版答案

1、第七章習題解答第七章習題解答1、設為一度量空間，令，()Xd00()|()UxxxXdxx?????00()|()SxxxXdxx?????問的閉包是否等于。0()Ux?0()Sx?解答：在一般度量空間中不成立，例如：取的度量子空間，則中00()()UxSx???1R[01][23]X??X的開球的的閉包是，而(11)(1)1UxXdx???[01](11)(1)1[01]2SxXdx?????2、設是區(qū)間上無限次可微函數(shù)全體，定義，證

2、[]Cab?[]ab()()()()01|()()|()max21|()()|rrrrrratbftgtdfgftgt?????????明：按構(gòu)成度量空間。[]Cab?()dfg證明：（1）顯然且有()0dfg?()0dfg??()()()()1|()()|max021|()()|rrrrratbftgtrftgt????????[]rtab???，特別當時有有。()()|()()|0rrftgt??0[]rtab???|()()|0f

3、tgt???[]tab??()()ftgt?（2）由函數(shù)在上單調(diào)增加，從而對有()1tftt??[0)??[]fghCab???()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|()max21|()()|1|()()()()|=max21|()()()()|1|()()|max2rrrrrratbrrrrrrrrratbrrrratbrftgtdfgftgtfththtgtfththtgtftht???????

4、??????????????????????()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()|1|()()||()()|1|()()|=max21|()()||()()|1|()()|max21|()()|rrrrrrrrrrrrratbrrrrrratbrhtgtfththtgtfthtfththtgthtgtftht?????????????????????????()()()()()()()()()(

5、)00|()()|1|()()|1|()()|maxmax21|()()|21|()()|()()rrrrrrrrrrrratbatbrrhtgtfththtgtfththtgtdfhdhg?????????????????????即三角不等式成立。()()()dfgdfhdhg??3、設是度量空間中的閉集，證明必有一列開集包含，而且。BX12nOOO??B1nnOB????證明：設為度量空間中的閉集，作集：，為開集，BX1|()(12

6、)nOxdxBnn???……nO從而只要證；1nnBO????可實上，由于任意正整數(shù)，有，故：。nnBO?1nnBO????從而；，于是有：()()()()00|()()|11()max21|()()|2rrnnrrrratbrrnftftdffftft???????????????0R????。從而取時112rR?????01max()RNNNN??nN?()()()()0|()()|1()max21|()()|rrnnrrratbr

7、nftftdffftft?????????()()()()()()()()01|()()||()()|11maxmax21|()()|21|()()|rrrrRnnrrrrrratbatbrrRnnftftftftftftftft??????????????????1011112(1)23.12212RRrrrrR???????????????????????于是有。從而點列按題2中距離收斂于。0NnN??????()ndff??nf[

8、]fCab??7、設及是度量空間中兩個集，如果，證明必有不相交開集及分別包含及。EF()0dEF?OGEF證明：記。，以為半徑作點的鄰域()inf()0xEyFrdEFdxy?????xE??1()2xdxF??x，令，則是開集且。同理可作開集，使得()xUx?()xxFOUx????OEO?G。1()(())2yyyFFGUydyE???????余證，如若不然即，則存在，由及的作法可知，必有，使得OG???OG???POG??OGxE

9、yF??，即，。從而有()()xyPUxPUy????1()()2xdxPdxF???1()()2ydyPdyE???1()()()[()()]2dxydxPdyPdxFdyE????另一方面，，從而有()()dxFdxy?()()dyEdxy?，1()[()()]()2dxydxFdyEdxy???由于，故得矛盾。因此。()()inf()0xEyFdxydEFrdxy??????OG???9、設是可分距離空間，為的一個開覆蓋，即是一族

10、開集，使得對每個，有中的開集，XFXFxX?FO使，證明必可從中選出可數(shù)個集組成的一個開覆蓋。xO?FX證明：因是可分距離空間，所以在中存在可數(shù)稠密子集。因是的一個開覆XX12nBxxx???FX蓋。因此，存在中的開集，使得且是的內(nèi)點。存在，使xX??FOxO?xO0r?，因在中稠密，從而可在上取出中的點，再取有理數(shù)，使得()xUxrO??BX()4rUxBkxr?（此處的有理數(shù)與均有關系）于是，由的任意性從而滿足42rrr???r?k