一類時(shí)滯微分方程的多重周期解的研究.pdf

1、本文把一類自治時(shí)滯微分方程的周期解的存在性問(wèn)題用多種方法推廣到非自治的情形.當(dāng)方程中的函數(shù)f依賴于變量t時(shí)，這給問(wèn)題的討論帶來(lái)實(shí)質(zhì)性的困難.本文就這個(gè)問(wèn)題做了下面幾方面的工作.
　　 1、由于在非自治情形下，對(duì)應(yīng)的變分泛函不再具有S1不變性.因此在自治情形下的方法都不能用來(lái)研究非自治系統(tǒng)的周期解的存在性.我們首先考察下列非自治的時(shí)滯微分方程
　　 x′(t)=-[f(t，x(t-Υ))+f（t，x(t-2Υ））+…+f（

2、t，x(t-（n-1）Υ））].(1)
　　 首先將它約化成一個(gè)等價(jià)的Hamilton系統(tǒng)，然后構(gòu)造一個(gè)辛變換對(duì)此Hamilton系統(tǒng)實(shí)施變換.最后我們用廣義的Morse指標(biāo)理論和Galerkin逼近原理來(lái)研究變換后的Hamilton系統(tǒng)，得到了其滿足一定對(duì)稱性的周期解的存在性，從而給出最初的時(shí)滯微分方程的周期解的存在性.
　　 2、我們考察了具有超線性性質(zhì)的時(shí)滯方程的周期解的存在性.即方程
　　 x′(t)=-

3、f(t，x(t-Υ)),(2)
　　 其中f∈C(R×RN,Rn）與前面f在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處滿足漸進(jìn)線性條件不一樣，這里f在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處滿足超線性性質(zhì).而且f不僅依賴于t而且是一個(gè)向量函數(shù).我們將它約化成一個(gè)等價(jià)的Hamilton系統(tǒng)，然后運(yùn)用環(huán)繞的思想得到了此Hamilton系統(tǒng)的周期解的存在性，從而得到原時(shí)滯方程周期解的存在性.
　　 3、對(duì)于時(shí)滯微分方程中時(shí)滯的個(gè)數(shù)不多于兩個(gè)的情形，我們用約化的方法和Maslov指

4、標(biāo)的估計(jì)得到了下面兩個(gè)非自治的時(shí)滯方程，
　　 x′(t)=-f(t，x(t-Υ))，(3)
　　 和
　　 x′(t)=-g(t,x(t-Υi))-g(t,x(t-2Υ1)），(4) 的周期解的存在性結(jié)果.除此之外，我們還用拓?fù)涠鹊姆椒ǖ玫搅司哂邢旅嫘问降姆亲灾螘r(shí)滯微分方程
　　 x′(t)=f（x(t-Υ））+εg(t，x(t-Υ))，(5)的周期解的存在性結(jié)果，其中r>0，ε≠0是一個(gè)小參數(shù).

5、>　　 4、我們直接利用變分的方法考察了下面時(shí)滯微分方程
　　 x′(t)=-f(x(t-r))，(6)
　　 并得到了其周期解的存在性結(jié)果.這就是說(shuō)我們可以不必要把時(shí)滯方程約化成一個(gè)等價(jià)的伴隨系統(tǒng)，然后通過(guò)研究伴隨系統(tǒng)的解來(lái)給出原方程的解，而是直接對(duì)時(shí)滯方程建立變分泛函，考察此泛函的臨界點(diǎn)的存在性.
　　 5、我們考察了具有Lipschtiz性質(zhì)的時(shí)滯微分方程的周期解的周期下界估計(jì).具體的說(shuō)，在Hilbert

6、空間里考察下列方程
　　 x′(t)＝-(?)f（x(t-kr））(7)
　　 和
　　 x′(t)=-(?)g(t，x(t-ks))，(8)
　　 其中x∈Rp，f∈C(Rp，Rp)，g∈C(R×Rp，Rp)及r>0，s>0是兩個(gè)給定的常數(shù).我們首先推廣了Wirtinger不等式，然后運(yùn)用此不等式及時(shí)滯方程自身的性質(zhì)得到了上面兩個(gè)方程的周期解的周期的下界估計(jì).
　　 在Banach空間考察了下面