正倒向隨機微分方程的參數(shù)估計.pdf

1、近些年，人們對正倒向隨機微分方程(FBSDE)的研究越來越多，但是針對FBSDE模型中的參數(shù)的估計問題，相關(guān)的文獻并不多，完全以此為研究對象的文獻只有參考文獻[5，7，8，9，10]，另外有參考文獻[4，11，12，13，14，15]比較接近這一問題。通過查閱已有的文獻，我們發(fā)現(xiàn)在FBSDE的參數(shù)估計工作中有下列問題值得進一步探究:
　　(1)現(xiàn)有文獻對一般情形下的生成元g（s，x，y，z）給出的非參數(shù)估計值(g)，只有(g)ht

2、(s)和(g)th，hx(s，x)兩種形式，這基于FBSDE的解（Yt，Zt）與偏微分方程的粘性解（u，v）存在關(guān)系式:Yt=u（t，Xt）、Zt=v(t，Xt)，即（Yt，Zt）也依賴于（t，Xt），所以在只需求取g（s，x，y，z）的值而不必給出具體表達式的情況下，可以認(rèn)為g(s，x，y(s，x)，z(s，x))只依賴于(s，x)。本文認(rèn)為估計生成元g(s，x，y，z)需要解決的問題是:對任意指定的(s0，x0，y0，z0)，給出(

3、g)(s0，x0，y0，z0)，所以在正文部分針對這一問題，嘗試給出(g)（s，x，y，z）的一個明確的表達式。
　　(2)現(xiàn)有文獻在討論生成元g的特殊形式時，都只考慮了g關(guān)于（Yt，Zt）線性的情況。本文基于g=u|Zt|這一特殊情形在應(yīng)用中的重要地位，特別考察了g=u|Zt|這一形式下FBSDE的參數(shù)估計方法和數(shù)值模擬實現(xiàn)，并且仿照現(xiàn)有文獻中的方法，給出了估計偏差理論和簡單證明。
　　(3)在現(xiàn)有文獻的數(shù)值模擬部分，使用

4、非參數(shù)回歸方法的過程中較少考慮對非參數(shù)回歸方法和窗寬參數(shù)的選擇，也較少涉及對參數(shù)估計方法穩(wěn)定性的考察。本文在數(shù)值模擬過程中對這些問題稍加探究。
　　(4)現(xiàn)有文獻大多只進行數(shù)值模擬，沒有將FBSDE模型應(yīng)用到實際數(shù)據(jù)中，本文嘗試在上證50ETF期權(quán)的實證分析中套用FBSDE模型，考察FBSDE的參數(shù)估計方法在期權(quán)定價問題中的應(yīng)用價值。
　　本文在正文部分主要解決以上4個問題，章節(jié)安排如下:
　　第一章簡單介紹了本文要用

5、到的預(yù)備知識，內(nèi)容主要是對研究對象(FBSDE模型)的簡要介紹和對所用方法（非參數(shù)回歸方法）的基本思想的簡要介紹。在§1.1介紹了FBSDE模型的相關(guān)理論，包括FBSDE模型的定義、實例、類型、發(fā)展以及FBSDE與其它隨機微分方程模型的區(qū)別。在§1.2梳理了非參數(shù)方法的主要思想，對非參密度估計和非參回歸估計的常用方法做了簡單敘述。
　　第二章的§2.1簡述了FBSDE的參數(shù)估計的研究目的和應(yīng)用價值，§2.2做了FBSDE模型中參數(shù)

6、的估計方法研究領(lǐng)域的文獻綜述，敘述了研究現(xiàn)狀，§2.3簡要列出了本文的創(chuàng)新點，說明了本文對FBSDE的參數(shù)估計理論和實證方面所做的補充工作。
　　第三章介紹并總結(jié)了一般形式下FBSDE的參數(shù)估計方法。其中§3.1至§3.4分別針對估計式的推導(dǎo)過程、漸進性質(zhì)的表述、終端條件的嵌入方法等，展開了詳細(xì)敘述，介紹了現(xiàn)有文獻中FBSDE參數(shù)估計方法的要點?！?.5對一般形式下FBSDE的參數(shù)估計方法做了一個小結(jié)，梳理了一個流程?！?.6給了

7、參數(shù)估計式的進一步明確表述，回答了問題(1)。
　　第四章考察了g=u|Z|情形下的參數(shù)估計問題，給出了(u)和bias((u))的表達式，仿照現(xiàn)有文獻中的方法給出了簡單推導(dǎo)和證明，回答了問題(2)。
　　第五章做了2個數(shù)值模擬，完成了問題(3)。
　　第六章將g=u|Zt|情形下的FBSDE應(yīng)用到上證50ETF期權(quán)實際數(shù)據(jù)上，對期權(quán)價格做出了估計，完成了問題(4)。
　　第七章對本文的工作做了簡單的總結(jié)，對未來