倒向隨機微分方程的數(shù)值方法及其誤差估計.pdf

1、倒向隨機微分方程(BSDE)是一個相對比較新的研究方向。1973年Bismut[9]研究的線性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推廣。非線性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。Duffle和Epstein[28]于1992年獨立引入經(jīng)濟模型中的隨機微分效用概念，也可以看作某些特殊的BSDE的解。從那以后，關(guān)于BSDE的很多理論和應(yīng)用結(jié)果得到了發(fā)展，其中包括：反射倒向隨機微分方程、正倒向隨機微分方

2、程、偏微分方程與倒向隨機微分方程的聯(lián)系、隨機控制、數(shù)理金融、非線性期望和非線性鞅論、遞歸效用和風(fēng)險敏感效用以及隨機微分幾何等。在El Karoui和Mazliak[30]，Ma和Yong[51]，Yong和zhou[86]寫的書以及綜述論文El Karoui，Peng和Quenez[33]中，詳細介紹了BSDE的理論和在數(shù)理金融和隨機控制中的應(yīng)用。
　　 倒向隨機微分方程的存在唯一性意味著我們能夠明確的解決現(xiàn)在應(yīng)怎樣去做以實現(xiàn)一

3、個給定的將來目標(biāo)。但是對于一個具體的倒向方程如何算出它的解來對一般情況而言仍是一個未解決的問題。在實際應(yīng)用中能夠顯式解出的BSDE是很少見的，因此我們需要計算BSDE的數(shù)值解。
　　 相對于正向隨機微分方程的數(shù)值解法，無論是從結(jié)果的豐富程度還是從算法實現(xiàn)的難易程度來看，BSDE都要落后很多。出現(xiàn)這一問題不外乎有以下兩個原因：首先，正向隨機微分方程與倒向隨機微分方程在結(jié)構(gòu)上有本質(zhì)的區(qū)別，從而倒向隨機微分方程的數(shù)值方法不能完全套用正

4、向隨機微分方程已有的數(shù)值方法。其次，從應(yīng)用的角度講，正向隨機微分方程考慮的是如何認識一個客觀存在的隨機過程，而倒向隨機微分方程則主要關(guān)心在有隨機干擾的環(huán)境中如何使一個系統(tǒng)達到預(yù)期的目標(biāo)。
　　 在過去的十幾年里，許多學(xué)者做出了很大的努力，在BSDE數(shù)值解法的研究中取得了一系列的成果。這些數(shù)值方法按照其求解原理可以劃分為兩大類：第一類方法主要通過數(shù)值求解與BSDE相對應(yīng)的擬線性偏微分方程；另一類算法直接對隨機問題按時間進行倒向計算

5、。2006年，Zhao，Chen和Peng[89]提出了解BSDE的θ格式，該方法結(jié)合PDE數(shù)值解法的特點，使用隨機的思想來解釋高精度的差分方法，對BSDE進行時間空間離散，用Monte Carlo方法結(jié)合插值近似計算條件數(shù)學(xué)期望，在數(shù)值實驗中得到了較好的結(jié)果。
　　 本文主要研究了BSDE的幾種數(shù)值方法，在Zhao，Chen和Peng[89]的基礎(chǔ)上，離散BSDE時用Gauss-Hermite積分替代Monte Carlo方法

6、近似條件期望，并得到了θ格式的誤差估計；提出了一種新的Crank-Nicolson格式并進行誤差估計；對一種更高階的Adams方法也提出了BSDE的離散格式且得到了格式的收斂誤差。下面我們列出本文的主要結(jié)果。
　　 第一章：簡要介紹本文中所討論問題的背景及總體思路，介紹了BSDE，F(xiàn)eynman-Kac公式的基本概念，對BSDEE有的數(shù)值解法進行了簡要的回顧總結(jié)。
　　 第二章：給出了BSDE(2-1)的θ格式的誤差估計

7、。證明了對一般的θ，格式一階收斂，特別當(dāng)θ=1/2時，格式二階收斂。當(dāng)θ=1時，我們得到θ格式對(2-1)的適應(yīng)解(yi,zi，)一階收斂。在θ=1/2的情形，我們還得到解zi，的誤差估計。
　　 我們稱下面兩個解(yn，zn)(n=N,N—1，…，O)的方程為離散BSDE(2-1)的θ格式：(公式略)
　　 對該格式的誤差估計主要有下面的定理。定理2.1.假設(shè)2.1成立，令yt和yn分別是BSDE(2-1)和θ格式(2

8、-12)的解，那么對足夠小的時間步長△tn，我們有(公式略)其中C是一個正常數(shù)，它僅依賴于T，ψ和f導(dǎo)數(shù)的上界和(2-3)的解u(t，x)。定理2.3.假{殳2.7成立，令yn(n=N'…，o)是θ格式(2-12)在θ=1/2時的解，yt(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的解，那么對足夠小的時間步長Δtn，我們有(公式略)定理2.4.假設(shè)2.1成立，令(yn，zn)(n=N，…，0)是θ格式(2-12)和(2-13)θ=1/2時的解，(

9、yt，zi)(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的真實解，那么對足夠小的時間步長Δtn，我們有(公式略)
　　 全離散θ格式可以如下定義：給定隨機變量yNi，i∈z，尋找近似解(yni，zni)(n=N-l，…，O，i∈Z)滿足(公式略)
　　 全離散θ格式的誤差為：定理2.7.令(yt，zt)是BSDE(2-1)的解(yni，zni)是通過線性多項式插值計算方(y)n+1的全離散格式(2-70)和(2-71)的解，那么在

10、假設(shè)2.1下，對一般θ∈[O，l]的全離散θ格式有(公式略)特別的，對θ=1/2的全離散θ格式有(公式略)對θ=1的全離枷格式有(公式略)
　　 第三章：對一般的多維BSDE提出了一種新的Crank-Nicolson格式并進行誤差估計，證明格式是二階收斂的。在本章最后對第二章以及本章的數(shù)值格式進行了數(shù)值模擬。
　　 對，n=N，N-1，…，O和終端條件(公式略)稱下面兩個式子為BSDE(3-1)分量形式的Crank-Ni

11、colson格式，(公式略)這里(公式略)是矩陣(公式徊)的第j列。寫成矩陣形式為：(公式略)
　　 Crank-Nicolson格式的誤差估計有下面的定理。定理3.1.假發(fā)2.1成立，那么對足夠小的時間少長△tn，我們有誤差估計(公式略)其中yt和yn曠分別是BSDE(3-1)和Crank-Nicolson格式(3-18)和(3-19)的解，C是一個僅依賴于T，ψ和／的導(dǎo)數(shù)的止界以及(3-4)的解u(t,x)的正常數(shù)。定理3.

12、2.令zt和zn分別是(3-15)和(3-21)的解，假設(shè)2.1成立，那么對足夠小的時問步長△tn我們有(公式略)
　　 BSDE(3-1)的時間空間全離散crank-Nicolson格式為：尋找(yni，ani)(n=N，N-l，…，o，i∈Zd)，使得(yni,ani)滿足(公式略)
　　 第四章：對一般形式的BSDE提出了Adams格式，對f不依賴于z的情形進行了誤差估計，證明了Adams格式的高精度收斂。

13、　　 對(公式略)的Adams格式為：(公式略)終端值yN由BSDE(4-1)的終端條件給出。
　　 全離散Adams格式可以如下定義：給定隨機變量yNi，先用Runge-Kutta方法求出(yni,ani)，i∈z，n=N-l，…，N-m+l的值，然后尋找近似解(yni,ani)(n=N-m，…，0，i∈Z)滿足(公式略)對生成元不依賴于z的BSDE的Adams格式的誤差估計由下面兩定理給出。定理4.1.假設(shè)2.1成立并且假