管道內(nèi)一類(lèi)跨音速激波的適定性.pdf

1、本文致力于研究可壓縮理想流體在管道內(nèi)定常流動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的一類(lèi)跨音速激波的適定性問(wèn)題． 利用管道輸運(yùn)流體以及控制流體的運(yùn)動(dòng)，在生產(chǎn)、生活和國(guó)防等方面有著廣泛而重要的應(yīng)用．空氣動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算模擬都表明，當(dāng)可壓縮超音速氣流進(jìn)入管道后，如果管道出口處壓強(qiáng)適當(dāng)大，就可能形成如下的定常流動(dòng)狀態(tài)：在管道擴(kuò)張段內(nèi)部產(chǎn)生一個(gè)激波，氣流越過(guò)此激波后將變?yōu)閬喴羲贍顟B(tài)，而壓強(qiáng)躍增后將逐漸達(dá)到在管道出口處給定的分布值．這樣的激波被稱(chēng)為跨音速激波．本文考

2、察的是在平直管(或管壁有小擾動(dòng))內(nèi)的這樣一種特殊的跨音速激波，其波前和波后的狀態(tài)都是適當(dāng)勻常狀態(tài)的小擾動(dòng)．本文的主要結(jié)果是定理3.1與定理4.1我們的結(jié)論說(shuō)明，對(duì)入口給定的超音速來(lái)流，若在出口給壓強(qiáng)條件，則當(dāng)出口壓強(qiáng)條件允許有一個(gè)自由度時(shí)(即其中含一個(gè)待解常數(shù)時(shí))這種管道中的跨音速激波(經(jīng)過(guò)一固定點(diǎn))及其相應(yīng)的流場(chǎng)對(duì)超音速來(lái)流和管壁的微小擾動(dòng)是穩(wěn)定的．證明表明這種適定性與在管內(nèi)要求質(zhì)量守恒密切相關(guān)．我們分別對(duì)兩維截面變化較小的管道和三維

3、具方形截面的平直管研究了這個(gè)跨音速激波的適定性問(wèn)題(對(duì)于后者，需要超音速來(lái)流滿(mǎn)足一定對(duì)稱(chēng)性條件)． 本文用定常Euler方程組來(lái)描述上述跨音速激波．由于定常Euler方程組在亞音速區(qū)域是雙曲一橢圓復(fù)合型的(即既有實(shí)特征又有復(fù)特征)，而跨音速激波是求解前未知的曲面，所以從數(shù)學(xué)角度講，這就是給出了一個(gè)非線性橢圓一雙曲復(fù)合型偏微分方程組自由邊界問(wèn)題的適定的提法并對(duì)其求解． 下面對(duì)全文的結(jié)構(gòu)安排作一簡(jiǎn)單介紹. 第一章，緒

4、論．這一章概要地介紹了管道內(nèi)跨音速激波問(wèn)題的現(xiàn)象、歷史發(fā)展、研究進(jìn)展，涉及的一些偏微分方程理論的概況和本文在處理上的整體思路、方法及其來(lái)源，以期使讀者對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題的全貌有所了解． 第二章主要是嚴(yán)格地建立了管道內(nèi)Euler方程組跨音速激波問(wèn)題的兩類(lèi)特解．其中第一類(lèi)是本文研究的重點(diǎn)．對(duì)這個(gè)特解的準(zhǔn)確理解對(duì)于研究一般跨音速激波的適定性具有重要意義． 第三章討論在截面變化較小的兩維管道內(nèi)跨音速激波的適定性，指出了對(duì)出口任意給定壓

5、強(qiáng)，密度，Mach數(shù)，熵等之一時(shí)跨音速激波的不適定性．證明的關(guān)鍵是利用質(zhì)量守恒方程引入Lagrange變換，通過(guò)對(duì)Lagrange坐標(biāo)下的Euler方程組的特征分解將之約化為一個(gè)2×2方程組(對(duì)于亞音速流它是橢圓型的)和兩個(gè)代數(shù)方程來(lái)處理．由于激波與管壁正交，為了處理由此帶來(lái)的解在管壁附近的奇性，我們引用了D．Gilbarg，LH6rmander和G．Lieberman的“Intermediate”Sehauder估計(jì)理論． 第