量子齊次空間與twisted Calabi-Yau代數(shù).pdf

1、量子齊次空間是Hopf代數(shù)的一類(lèi)右余理想子代數(shù)，它們可看作Lie群理論中齊次空間的一種量子形變.由于量子商群(即子Hopf代數(shù))的缺乏，量子齊次空間作為一類(lèi)更廣泛的對(duì)象，引起了數(shù)學(xué)家的極大興趣.在過(guò)去的幾十年里、它們已經(jīng)在數(shù)學(xué)物理，非交換幾何等領(lǐng)域被廣泛地研究.本文主要研究齊次空間的同調(diào)性質(zhì)，以及對(duì)某些量子群的量子齊次空間進(jìn)行分類(lèi)。
　　 具體地，本文研究了量子齊次空間的各種同調(diào)維數(shù)，Auslander條件，對(duì)偶復(fù)形等同調(diào)性質(zhì).

2、我們推導(dǎo)出一些結(jié)論，特別是建立了AS-Gorenstein量子齊次空間上的Van den Bergh對(duì)偶.文獻(xiàn)[BZ08]中關(guān)于Hopf代數(shù)的一些結(jié)論也被推廣到量子齊次空間情形。
　　 在對(duì)量子齊次空間的剛性對(duì)偶復(fù)形進(jìn)行研究之后，本文回顧了twistedCalabi－Yau代數(shù)的概念.一個(gè)twisted Calabi-Yau代數(shù)是Ginzburg意義下的Calabi-Yau代數(shù)[Gin06]當(dāng)且僅當(dāng)它的Nakayama自同構(gòu)是一

3、個(gè)內(nèi)自同構(gòu).所以如何計(jì)算twisted Calabi-Yau代數(shù)的Nakayama自同構(gòu)就成了一個(gè)關(guān)鍵課題。
　　 受[KT81]，[Sch92]的啟發(fā)，我們對(duì)量子齊次空間定義了正規(guī)基性質(zhì).這一性質(zhì)在證明AS-Gorenstein性質(zhì)，確定同調(diào)積分和Nakayama自同構(gòu)等方面起著重要作用。
　　 我們注意到這樣的事實(shí)，當(dāng)量子包絡(luò)代數(shù)Uq(g)的量子齊次空間包含于量子Borel部分時(shí)，便可通過(guò)累次Ore擴(kuò)張實(shí)現(xiàn).本文首先

4、證明了Ore擴(kuò)張保持twisted Calabi-Yau性質(zhì)，并且描述了擴(kuò)張前后Nakayama自同構(gòu)之間的關(guān)系.由此可以推出量子Borel部分的量子齊次空間是twisted Calabi-Yau代數(shù)，它們的Nakayama自同構(gòu)也被計(jì)算出來(lái).對(duì)于一般情形，運(yùn)用[Let02]提到的一種濾，我們證明了Uq(g)的所有量子齊次空間都有AS-正則性質(zhì)和twistedCalabi-Yau性質(zhì)。
　　 文章最后對(duì)Uq(5[(2，C))的量