復(fù)雜系統(tǒng)的切換穩(wěn)定性與同步分析.pdf

1、隨著人們對現(xiàn)實世界認識的日益加深，人們發(fā)現(xiàn)許多物理系統(tǒng)都需要用切換系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)式復(fù)雜系統(tǒng)來描述?；谖⒎植罘址匠汤碚?、矩陣分析及圖論，本文主要研究了一類切換正線性離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性和兩類網(wǎng)絡(luò)式復(fù)雜系統(tǒng)的同步性。本文所得主要結(jié)果如下：
　　1.研究了以(sp)矩陣為子系統(tǒng)的切換正線性離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。這里的(sp)矩陣的概念刻畫了一類漸近穩(wěn)定的離散線性系統(tǒng)。本文中首先采用圖論的方法給出了它的一個形式更為簡潔的新定義，然后運用偏序

2、半群和李代數(shù)方法，建立了幾個有關(guān)這類切換系統(tǒng)的絕對漸近穩(wěn)定性的新準則。一般地，李代數(shù)條件缺少魯棒性，本文借助于偏序半群結(jié)構(gòu)在一定程度上彌補了這個不足。接著，通過對這類矩陣乘積的細致討論，提煉出一個算術(shù)性質(zhì)，由滿足這個性質(zhì)的有限多個(sp)矩陣生成的切換系統(tǒng)在任意切換下是漸近穩(wěn)定的，而一旦不具備這一性質(zhì)，這個切換系統(tǒng)連周期切換下的漸近穩(wěn)定性都保證不了。這個結(jié)果給該類切換系統(tǒng)的應(yīng)用帶來了方便。借助于它，本文對帶頭領(lǐng)的線性化Vicsek模型的

3、收斂性定理給出了一個簡單而直接的新證明。由這部分結(jié)果還將得到關(guān)于聯(lián)合譜半徑的一個上界估計，這也是對Lyapunov指數(shù)的估計。此外，還討論了一類切換意義下的高階差分方程，給出了它的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件。
　　2.研究了具有根領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)的離散Cucker-Smale模型的同步行為。這一模型來源于人們解釋生物群體，如鳥群、魚群的有序運動這一自然現(xiàn)象的努力，并且與工程技術(shù)領(lǐng)域的許多實際問題，如飛行器的編隊、機器人系統(tǒng)等有密切聯(lián)系。在

4、已有的相關(guān)工作中，連接拓撲或者是對稱的，或者具有三角形結(jié)構(gòu)，而本文所提出的模型同時打破了這兩種假設(shè)，是首次對既無對稱結(jié)構(gòu)也無三角形結(jié)構(gòu)的Cucker-Smale模型進行研究。而且，根領(lǐng)導(dǎo)結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)成員跟隨具有常速度的唯一頭領(lǐng)運動的一個必要條件。本文分別對具有固定的和切換的連接拓撲的模型建立了指數(shù)收斂率的估計，并證明了在一定的初始條件下，該系統(tǒng)能達到速度同步，即每個個體的運動皆與頭領(lǐng)保持一致。此外，還考慮了網(wǎng)絡(luò)的成員具有自由意志的情形，在

5、這一情形下證明了速度的收斂性。
　　3.基于Lyapunov函數(shù)方法研究了一類耦合網(wǎng)絡(luò)之間的外同步性。對網(wǎng)絡(luò)拓撲相同的情形，證明了對于平衡網(wǎng)絡(luò)，在任意的耦合強度下可以實現(xiàn)漸近外同步，并說明了在保持網(wǎng)絡(luò)拓撲的平衡性的前提下，切換不會破壞外同步性。對網(wǎng)絡(luò)拓撲不同的情形，本文將外同步與驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)同步聯(lián)系起來，證明了如果響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)是平衡的，而驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)可達到內(nèi)同步，則耦合網(wǎng)絡(luò)能實現(xiàn)外同步。本文對這兩種情況分別通過數(shù)值算例來驗證理論結(jié)果。在網(wǎng)