雙擺振動系統(tǒng)的同相振動性.pdf

1、本文我采用了Mironenko[1]創(chuàng)建的反射函數(shù)法研究了雙擺振動系統(tǒng)(x1x2)'=A(t)(x1x2)(1)(y1y2)'=B(t)(y1y2)(2)的同相振動性.其中A(t)=(aij(t))2×2，B(t)=(bij(t))2×2.
　　 假設F(t)，G(t)分別為(1)(2)的反射矩陣.當A(t+2ω)=A(t)，B(t+2ω)=B(t)時，由[1][2]知矩陣F(-ω)，G(-ω)分別相似于(1)(2)的根本矩陣，

2、則若特征方程|λE-F(-ω)|=0(3)|μE-G(-ω)|=0(4)具有相同的特征根，則(1)(2)的穩(wěn)定性相同.
　　 在本文中我給出了特征方程(3)(4)具有相同特征根的充分條件.通過深入研究得到如下結(jié)論：
　　 結(jié)論1.若存在可微矩陣函數(shù)滿足1)T(-t)=T(t)，2)T'(t)=B(t)T(t)-T(t)A(t)+α(t)T(t)，則T(t)F(t)=G(t)T(t).這里的α(t)為連續(xù)的奇的純量函數(shù).<

3、br>　　 結(jié)論2.若存在可微矩陣函數(shù)滿足1)T(t)[A(t)+A(-t)]=[B(t)+B(-t)]T(t)，2)T'(t)=B(t)T(t)-T(t)A(t)+α(t)T(t)，則T(-t)=T(t)，T(t)F(t)=G(t)T(t).這里的α(t)為連續(xù)的奇的純量函數(shù).
　　 結(jié)論3.若結(jié)論1或結(jié)論2的條件成立，且微分系統(tǒng)(1)(2)都是2ω-周期系統(tǒng)，且T(ω)可逆，則此時(1)與(2)零解的穩(wěn)定性相同.
　

4、　 結(jié)論4.若BT(t)-A(-t)=η(t)M(t)，M'(t)=M(t)A(-t)-A(-t)M(t)+m∑k=1γk(t)Mk(t)，則F(t)=GT(t).其中η(t)，rk(t)(k=1，2…m)為連續(xù)的奇的純量函數(shù).
　　 結(jié)論5.若BT(t)-A(-t)=m∑k=1αk(t)Mk(t)，M'(t)=M(t)A(-t)-A(-t)M(t)+m∑k=1γk(t)Mk(t)，則F(t)=GT(t).其中αk(t)，rk

5、(t)(k=1，2…m)為連續(xù)的奇的純量函數(shù).
　　 結(jié)論6.若結(jié)論4或結(jié)論5的條件成立，且微分系統(tǒng)(1)(2)為2ω-周期系統(tǒng)，則它們的穩(wěn)定性相同.
　　 結(jié)論7.若A(t)+B(-t)=m∑k=1αk(t)Nk(t)，N'(t)=A(t)N(t)-N(t)A(t)+m∑k1βk(t)Nk(t)，則F(t)=G(-t).其中αk(t)，βk(t)(k=1，2…m)為連續(xù)的奇的純量函數(shù).
　　 此外，若A(t+2

6、ω)=A(t)，B(t+2ω)=B(t)，∫ω0trAe(t)dt=∫ω0trBe(t)dt=1，則微分系統(tǒng)(1)(2)的穩(wěn)定性相同.
　　 結(jié)論8.若B(t)-A(t)=m∑k=1αk(t)Mk(t)，M'(t)=A(t)M(t)-M(t)A(t)+m∑k=1βk(t)Mk(t)，則F(t)=G(t).其中αk(t)，βk(t)(k=1，2…m)為連續(xù)的奇的純量函數(shù).
　　 此外，若A(t+2ω)=A(t)，B(t+2