算子的強不可約積分表示及其相似不變量.pdf

1、在算子理論中，尋找算子的相似不變量一直是頗受關注的問題.我們知道在有限維的復的Hilbert空間上，Jordan標準型定理成功的刻畫了算子的相似不變量.正是因為這樣，Jordan矩陣被看成是構造有限維Hilbert空間上算子的基本單元.而由此也引出了人們對約化理論的探索.
　　 在復的可分的Hilbert空間上，有界線性算子的結構就變得復雜的多.人們一直在嘗試用各種辦法對Jordan標準型定理進行推廣，其目的就是希望使有界線性算

2、子的內在結構變得更清晰.人們在研究中遇到了各種問題，同時也取得了很多進展.在本文的引言中，我們詳細的介紹了這一研究的發(fā)展過程，以及不同學派取得的進展.需要指出的是上世紀七十年代末，江澤堅提出使用強不可約算子來代替復可分的Hilbert空間上的Jordan矩陣.同時他也指出存在有界線性算子不能寫成強不可約算子的直接和.此后由蔣春瀾帶領的的學術梯隊圍繞強不可約算子展開了相關的研究.在此后的三十年中，這個學術梯隊不斷的取得進展.
　　

3、 本文的主要工作正是在上述學術梯隊的工作的啟發(fā)下展開的.我們知道有限維Hilbert空間上的對角算子(1維空間上算子的直接和)可以看成是積分的離散形式.推而廣之，我們可以將有界線性算子的直接和看成有界線性算子的直接積分.這種概念上的推廣使得我們需要引入測度論和von Neumann代數的相關理論.承接前面的工作，我們開始考慮是否每個有界線性算子都可以寫成強不可約算子的直接積分?我們發(fā)現(xiàn)仍然存在有界線性算子不能寫成強不可約算子的直接積分.

4、
　　 在本文的第一章中，我們構造了兩個不能寫成強不可約算子的直接積分的有界線性算子的例子.進而我們證明了一個Hilbert空間上的有界線性算子A相似于強不可約算子的直接積分當且僅當在算子A的換位代數中存在一個有界的極大交換的冪等算子的集合.應用這一充分必要條件，我們在第一章的最后舉例說明了哪些算子類中的算子可以相似于強不可約算子的直接積分.同時我們也指出全體可以相似于強不可約算子的直接積分的算子組成()(())的一個稠子集.<

5、br>　　 在本文的第二章中，我們指出在復可分的無窮維Hilbert空間上，單位算子的強不可約分解不具有相似意義下的唯一性.由這個特例我們可以構造一般的非正規(guī)算子的例子，使得這種非正規(guī)算子的強不可約分解在相似意義下不具有唯一性.由此我們給出并證明了一個有界線性算子的強不可約分解在相似意義下唯一的必要條件.在討論中，我們引入了算子矩陣的上三角表示，這種表示不僅簡化了相應結果的證明過程而且使得一些問題變得很直觀.我們發(fā)現(xiàn)在算子矩陣的上三角

6、表示中，主對角線上的乘法算子的重數函數與強不可約分解的唯一性具有重要關系，同時第一條上次對角線上的乘法算子的可逆性與直接積分分解的強不可約性也具有直接關系.進而我們證明了一類有界線性算子其強不可約分解在相似意義下是唯一的.在這一章的后兩節(jié)中，我們針對算子矩陣上三角表示中第一條上次對角線上的乘法算子的可逆性分別進行了討論.通過比較，我們可知當第一條上次對角線上的乘法算子均可逆時，我們得到了更好的結果.本文針對Jordan標準型定理的存在性