完全強不可約理想.pdf

1、作為W.Gr(o)bner引入的不可約理想[1]和L.Fuchs引入的強不可約理想[2]的一種特殊形式，本文引入了完全不可約理想和完全強不可約理想的概念，考察了完全不可約理想與素理想之間的關(guān)系，證明了如果R是一個環(huán)，x∈R，則x不是冪零的當(dāng)且僅當(dāng)存在x的值M（完全不可約理想），使得M是素理想。在此基礎(chǔ)上，建立了完全強不可約理想的等價刻畫，即證明了一個理想M是完全強不可約理想當(dāng)且僅當(dāng)M是R中某個非零元的唯一值。特別地，當(dāng)J(R）=0時，M

2、是完全強不可約理想當(dāng)且僅當(dāng)存在0≠e∈Idem(R)，使得M是e的唯一值。完全不可約理想和完全強不可約理想的概念的引入，導(dǎo)致了一類特殊的環(huán)類——完全分配環(huán):一個環(huán)R稱為是完全分配的，如果對于R的任一理想I及R的任一族理想{Kλ｜λ∈Λ}，有((n)λ∈（A）Kλ）+I=(n)λ∈（A）(Kλ+I)。通過實例，我們將表明完全分配環(huán)類是分配環(huán)類的一個真子類。借助于完全不可約理想和完全強不可約理想的性質(zhì)，我們證明了一個環(huán)R是完全分配環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)