幾類不變量保持問題的研究.pdf

1、在代數(shù)領(lǐng)域中,保持映射通常指的是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)之間把代數(shù)系統(tǒng)中算子的某種特征或代數(shù)系統(tǒng)自身的某種特征作為不變量的映射。保持問題則是刻畫這種映射結(jié)構(gòu)的問題。關(guān)于保持問題的研究可追溯到1897年,Frobenius刻畫了復(fù)矩陣空間保行列式的線性映射的結(jié)構(gòu)。至今,保持問題已成為矩陣與算子理論中最活躍最富有成果的領(lǐng)域之一。關(guān)于保持問題的分類,有很多種:從映射作用的集合角度,保持問題一般可分為矩陣代數(shù)上的保持問題和算子代數(shù)上的保持問題;按照不變量的

2、性質(zhì),保持問題通?？煞譃楸３趾瘮?shù)、變換、子集和關(guān)系四類;從映射自身的角度,保持問題主要分線性、加法、乘法、一般及其它保持問題。目前,一般及其它保持問題的結(jié)果較線性、加法等保持問題的結(jié)果少,但應(yīng)用更廣泛,而且研究方法上也與研究線性、加法等保持問題的方法不同,因此,一般及其它保持問題更受廣大學(xué)者的關(guān)注。
　　針對一般及其它兩類保持問題,本文分別從映射所作用的集合及不變量的角度,采用線性代數(shù)技術(shù)和約化技術(shù)研究了如下四個(gè)問題:
　　

3、(1)刻畫了2×2復(fù)矩陣空間上保持譜半徑的一般映射的形式。由于譜、譜半徑理論不但在代數(shù)領(lǐng)域中是重要的,在微分方程系統(tǒng)穩(wěn)定性理論等其它領(lǐng)域中都是至關(guān)重要的,關(guān)于保持譜半徑的線性、加法及乘法保持問題的刻畫受到普遍關(guān)注,成果豐富。由于沒有線性條件,甚至沒有可加條件,保持譜半徑的一般保持問題難度較大,結(jié)果并不多見。由于2×2矩陣空間的局限性,2×2矩陣空間上的研究工作往往與高維矩陣空間上相應(yīng)的工作有很大區(qū)別,其保持映射的結(jié)構(gòu)與高維矩陣空間上相應(yīng)

4、保持映射的結(jié)構(gòu)也不同。本文研究了2×2復(fù)矩陣空間上保持譜半徑的不具備滿射條件的映射形式。從研究結(jié)果可以看出2×2復(fù)矩陣空間上保持譜半徑的不具備滿射條件的映射依然是標(biāo)準(zhǔn)映射。
　　(2)研究了保零三重積、零若當(dāng)三重積的三線性映射的結(jié)構(gòu)。研究矩陣代數(shù)上保持零積、零若當(dāng)積、交換等線性映射結(jié)構(gòu)的問題,通常可以通過考慮保持某種零積性質(zhì)的雙線性映射有效地解決。三重積和若當(dāng)三重積的概念在巴拿赫代數(shù)及矩陣廣義逆理論中有廣泛的應(yīng)用,本文通過考查保持

5、零三重積、零若當(dāng)三重積的三線性映射,完成了對保零三重積、零若當(dāng)三重積的線性映射結(jié)構(gòu)的刻畫。從研究結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)此結(jié)果推廣了已有保持零積、零若當(dāng)積的雙線性映射的結(jié)論,進(jìn)一步豐富了其它保持問題的成果。
　　(3)給出保持對稱、反對稱和上三角矩陣秩k的所有函數(shù)形式,以及保n階矩陣行列式、伴隨和冪等的函數(shù)的結(jié)構(gòu)。函數(shù)保秩的理論在g-積分理論中有重要應(yīng)用,目前,關(guān)于保持矩陣秩的函數(shù)保持問題已有一些結(jié)果,本文分別刻畫了保持任意域上的n階對稱、反

6、對稱和上三角矩陣秩k的所有函數(shù)形式,同時(shí),分別給出了保持任意域上的n階矩陣行列式、伴隨和冪等的函數(shù)的結(jié)構(gòu),豐富了函數(shù)保持問題的成果。
　　(4)刻畫了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上的雙向完全保對合及雙向完全保Drazin逆的滿射結(jié)構(gòu)。對合算子在Chi-方分布、組合問題中有重要應(yīng)用,Drazin逆算子在馬爾科夫鏈、奇異微分方程等領(lǐng)域中有重要應(yīng)用。本文刻畫了在無限維巴拿赫空間標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上的雙向完全保對合及雙向完全保Drazin逆的滿射結(jié)構(gòu),從研究結(jié)