Galois環(huán)上的循環(huán)碼與Gray映射.pdf

1、循環(huán)碼是一類(lèi)非常重要的線性碼。它不僅具有很好的代數(shù)結(jié)構(gòu)、循環(huán)特性，而且其編碼和譯碼都可以很容易地利用線性移位寄存器來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，循環(huán)碼特別引人注目。1957年普朗格（Prang）首先在域GF（q）上研究循環(huán)碼，此后，人們對(duì)域GF（q）上的循環(huán)碼的研究在理論和實(shí)踐方面都取得了很大進(jìn)展。隨著糾錯(cuò)碼理論的進(jìn)一步發(fā)展，有限域上的編碼理論已發(fā)展的較為完備，因此近年來(lái)，循環(huán)碼的研究被擴(kuò)展到有限環(huán)上。特別地，已有不少編碼學(xué)家對(duì)Z4-循環(huán)碼（不必是線性

2、的）和Z4上的Gray映射作了深入研究，得到了Z4上的循環(huán)碼和負(fù)循環(huán)碼在Gray映射下像的一些性質(zhì)。類(lèi)似地，Gray映射也被推廣到了Z2K+1和ZPk+1上，并得到了其上的循環(huán)碼在推廣的Gray映射下像的一些性質(zhì)。
　　本文在這些結(jié)論的啟發(fā)下，進(jìn)一步完善了Z4上的線性碼C及其對(duì)偶碼C⊥的Gray映射像Φ（C）與Φ（C⊥）的關(guān)系，并給出了C為Z4上自對(duì)偶碼的充要條件。同時(shí)，在ZPk+1上引入了新的等距映射φk，并利用φk研究了ZPk

3、+1上的（1+tpk ）-循環(huán)碼的一些性質(zhì)，得到了C為ZPk+1上（1+tpk）-循環(huán)碼的充要條件是φk（C）是一個(gè)階為pk-1，長(zhǎng)度為pk-1n的（1+tpk）-準(zhǔn)循環(huán)碼。本文主要研究了Galois環(huán)GR（4m）上的循環(huán)碼。一方面，研究了Galois環(huán)GR（4m）上循環(huán)碼與其對(duì)偶碼的生成元之間的關(guān)系。另一方面，在Galois環(huán)GR（4m）上引入了Gray映射，研究了循環(huán)碼和準(zhǔn)循環(huán)碼的Gray映射像的性質(zhì)，并得到了碼C在Galois環(huán)G