裂區(qū)因析設(shè)計(jì)最優(yōu)準(zhǔn)則及構(gòu)造理論.pdf

1、在試驗(yàn)設(shè)計(jì)的應(yīng)用中存在—個(gè)常見問題，即進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)某些因子改變水平相對(duì)于其他因子來說更難，或者花費(fèi)更多，更耗時(shí).在這些情況下，試驗(yàn)者很自然地會(huì)通過減少這類因子水平的改變次數(shù)來節(jié)省開支，這種做法也同時(shí)限制了試驗(yàn)的隨機(jī)性，于是裂區(qū)試驗(yàn)設(shè)計(jì)出現(xiàn).之所以稱其為裂區(qū)試驗(yàn)是由于它最早應(yīng)用于農(nóng)業(yè)，土地的整區(qū)(WP)(基本試驗(yàn)單位)進(jìn)一步被細(xì)分或是分成子區(qū)(SP)或是子單位來安排容易改變的因子(Yates(1937)).在裂區(qū)設(shè)計(jì)中，容易改變的因子(SP

2、因子)是根據(jù)一個(gè)設(shè)計(jì)矩陣來安排(SP設(shè)計(jì))，難改變的因子根據(jù)另一個(gè)設(shè)計(jì)，即WP設(shè)計(jì)來安排，且改變次數(shù)較少.裂區(qū)試驗(yàn)的起源可以追溯到試驗(yàn)設(shè)計(jì)的最初應(yīng)用上.正如Daniel(1976)年指出的，“嵌入設(shè)計(jì)(一種裂區(qū)設(shè)計(jì))……在工業(yè)研究中更為常見.研究的系統(tǒng)越龐大，這種設(shè)計(jì)就越有可能顯出其方便之處，甚至是唯一可能的選擇”. 部分因析設(shè)計(jì)(FF)廣泛應(yīng)用于研究過程中的因子效應(yīng)，那么當(dāng)選擇一個(gè)部分因析裂區(qū)設(shè)計(jì)(FFSP)時(shí)，設(shè)計(jì)試驗(yàn)需要平

3、衡在試驗(yàn)過程中盡可能多的提供信息以及盡量減少試驗(yàn)費(fèi)用的關(guān)系.為達(dá)到這一要求，設(shè)計(jì)對(duì)其“部分”有一個(gè)特殊的選擇，要求是最小低階混雜(MA).即我們要選擇MA的FFSP設(shè)計(jì).Huangetal.(1998)給出了構(gòu)造MA的二水平FFSP設(shè)計(jì)的方法.然而這種方法不能給出所有MA的FFSP設(shè)計(jì).于是，在1.3節(jié)中，我們提出在弱MA(WMA)準(zhǔn)則下研究最優(yōu)二水平FFSP設(shè)計(jì).當(dāng)一個(gè)FFSP的設(shè)計(jì)最大分辨度為Rmax時(shí)，如果它包含長(zhǎng)為Rmax的字的

4、個(gè)數(shù)最少，則稱其為WMA的FFSP設(shè)計(jì).于是WMA設(shè)計(jì)最小化長(zhǎng)度最短的字的個(gè)數(shù)的同時(shí)，還可以使更多的低階交互效應(yīng)可估，根據(jù)FFSP設(shè)計(jì)生成矩陣的結(jié)構(gòu)，我們從WMA的220-15及221-16設(shè)計(jì)中構(gòu)造出WMA的FFSP設(shè)計(jì)，其中找到的一些優(yōu)良的FFSP設(shè)計(jì)是不能用Huangetal.(1998)構(gòu)造MA設(shè)計(jì)的方法而得到的. 在第2章中，我們提出在純凈準(zhǔn)則下選擇最優(yōu)非對(duì)稱設(shè)計(jì)的問題.在效應(yīng)排序性假設(shè)下，MA準(zhǔn)則有其合理性.但當(dāng)沒有

5、分辨度為Ⅴ或更高分辨度的設(shè)計(jì)時(shí)，MA設(shè)計(jì)并不一定是最好的設(shè)計(jì).于是，WuandChen(1992)提出純凈主效應(yīng)和純凈二因子交互效應(yīng)(2fis)的概念，即它們不與其它任何主效應(yīng)和二因子交互作用混雜.純凈效應(yīng)準(zhǔn)則在某些先驗(yàn)知識(shí)已知的情況下特別適用.如果三因子或更高階的交互作用可以忽略，則純凈效應(yīng)是可估的.就估計(jì)能力來說，純凈的主效應(yīng)和二因子交互效應(yīng)越多越好.對(duì)于純凈準(zhǔn)則近期研究主要有：Tangetal.(2002)，WuandWu(200

6、2)以及AiandZhang(2004)等.非對(duì)稱設(shè)計(jì)是因子水平數(shù)不全相同的一類設(shè)計(jì).這種設(shè)計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中十分重要，特別是正規(guī)設(shè)計(jì)，現(xiàn)已有很多研究.例如：WuandZhang(1993)，XuandWu(2001)，ZhangandShao(2001)，以及MukerjeeandWu(2001)等.目前對(duì)于非對(duì)稱設(shè)計(jì)的研究多為在MA準(zhǔn)則下選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)，而關(guān)于在純凈準(zhǔn)則下的非對(duì)稱設(shè)計(jì)的結(jié)果還不多.而我們?cè)?.3節(jié)中解決了“在水平組合數(shù)固定

7、的前提下使得一個(gè)(s2)sn設(shè)計(jì)存在純凈主效應(yīng)或二因子交互效應(yīng)或二因子交互效應(yīng)成分的充分與必要條件是什么”這一重要問題.對(duì)利用集群(grouping)方法構(gòu)造出的非對(duì)稱(s2)sn設(shè)計(jì)(其中s是素?cái)?shù)或素?cái)?shù)冪)，我們給出了純凈效應(yīng)及純凈效應(yīng)成分的定義，并且證明了：sp個(gè)水平組合的(s2)sn設(shè)計(jì)含有純凈的s2-水平因子主效應(yīng)的充要條件為n≤(sp2-1)/(s-1)；而含有純凈的s-水平因子主效應(yīng)及二因子交互效應(yīng)成分的充要條件為n≤(sp

8、-1-1)/(s-1)-s.我們還證明了：當(dāng)(sp-1-1)/(s-1)+2s-1-s＜n＜(sp-1)/(s-1)-(s+1)時(shí)，—個(gè)(s2)sn設(shè)計(jì)中任—合格的二因子交互效應(yīng)成分至少與兩個(gè)其它的二因子交互效應(yīng)成分混雜；當(dāng)n＞(sp-2-1)/(s-1)-(s-1)時(shí)，沒有分辨度為Ⅳ的(s2)sn設(shè)計(jì)含有純凈的s×s二因子交互效應(yīng)；而當(dāng)n＞(sp-3-1)/(s-1)+1，沒有分辨度為Ⅳ的(s2)sn設(shè)計(jì)含有純凈的s2×s二因子交互效

9、應(yīng). 由于純凈效應(yīng)準(zhǔn)則給出的設(shè)計(jì)在很多情況下優(yōu)于MA設(shè)計(jì)，但在此之前國(guó)際上還缺乏將純凈效應(yīng)準(zhǔn)則用于FFSP設(shè)計(jì)的研究.無疑這一研究是很有意義的.為此，我們領(lǐng)先開始了這一新課題的研究.在本文中，我們首先將這類設(shè)計(jì)的二因子交互效應(yīng)分成三個(gè)類型：WP二因子交互效應(yīng)，SP二因子交互作用及整區(qū)子區(qū)(WS)二因子交互效應(yīng).在穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)中，F(xiàn)FSP設(shè)計(jì)是可應(yīng)用于它的一種重要情形，其中WP因子和SP因子可被分別被看作是控制因子和噪聲因子(Bi

10、nghamandSitter(2003)).由于控制×控制及控制×噪聲二因子交互效應(yīng)在穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)中非常重要，因此WP二因子交互效應(yīng)與WS二因子交互效應(yīng)值得特別關(guān)注.在第3章，我們主要考慮在FFSP設(shè)計(jì)中純凈的WP二因子交互效應(yīng)及WS二因子交互效應(yīng)問題.并給出分辨度為Ⅲ和Ⅳ的2(n1+n2)-(k1+k2)FFSP設(shè)計(jì)中純凈的WP二因子交互效應(yīng)及WS二因子交互效應(yīng)最大個(gè)數(shù)的上界及下界.在3.3節(jié)中，我們證明：在—個(gè)分辨度為Ⅲ的2(n1+

11、n2)-(k1+k2)設(shè)計(jì)中，純凈的WP二因子及WS二因子交互效應(yīng)最大個(gè)數(shù)的上界分別為2p1-1-n1和2p-2p1-n2.同時(shí)根據(jù)設(shè)計(jì)中所有n個(gè)因子及n1個(gè)WP因子的不同取值范圍，分別給出分辨度為Ⅲ的2(n1+n2)-(k1+k2)設(shè)計(jì)中，純凈的WP二因子及WS二因子交互效應(yīng)最大個(gè)數(shù)的下界.表3.1表明：對(duì)于分辨度為Ⅲ的設(shè)計(jì)，在分別滿足p=5與p1=4以及p=6與p1=4這兩種情況下，多數(shù)設(shè)計(jì)中純凈的WP二因子交互效應(yīng)最大個(gè)數(shù)的上下界

12、相等；而純凈的WS二因子交互效應(yīng)最大個(gè)數(shù)的上下界即使不相等，其差別也很小.這就有力地證明，我們給出的分辨度為Ⅲ的FFSP設(shè)計(jì)中純凈的WP二因子交互效應(yīng)及WS二因子交互效應(yīng)最大個(gè)數(shù)的上界及下界表現(xiàn)是十分令人滿意的.在3.4節(jié)中，我們給出了分辨度為Ⅳ的2(n1+n2)-(k1+k2)FFSP設(shè)計(jì)中純凈的WP二因子交互效應(yīng)及WS二因子交互效應(yīng)最大個(gè)數(shù)的上界及下界.表3.2列舉了分辨度為Ⅳ的FFSP設(shè)計(jì)，在分別滿足p=7與p1=6，p=8與p1

13、=5以及p=8與p1=7這三種情況下的部分設(shè)計(jì)的上下界，并表明在大多數(shù)情況下，我們所得到的上界和下界相差不多.由于純凈的WP及WS二因子交互效應(yīng)的精確的最大值(仍然未知)應(yīng)在上界和下界之間，因此對(duì)表3.2中上下界的比較，可以證明，對(duì)于獲得含有盡可能多的純凈的WP及WS二因子交互效應(yīng)的FFSP設(shè)計(jì)，我們的構(gòu)造方法有著很好的表現(xiàn). 裂區(qū)試驗(yàn)在實(shí)施時(shí)會(huì)有試驗(yàn)次數(shù)多，花費(fèi)大的趨勢(shì).特別地，我們很自然地要盡可能減少WP的試驗(yàn)次數(shù)，由于它們

14、在實(shí)施過程中通常花費(fèi)更高.然而，如果我們?cè)噲D估計(jì)主效應(yīng)和交互效應(yīng)，此時(shí)就會(huì)有純凈的自由度的限制，并且還要有自由度來估計(jì)誤差.另一個(gè)花費(fèi)主要由于SP設(shè)計(jì)在每一次WP試驗(yàn)中的不可避免地重復(fù).這對(duì)試驗(yàn)者來說是個(gè)常見的問題，由于此時(shí)會(huì)有大量的自由度用來估計(jì)SP對(duì)照.因此，為了節(jié)約開支，減少SP數(shù)目就顯得尤為重要.Huangetal.(1998)及BinghamandSitter(1999，2001)所研究的聯(lián)合表就是為解決這一問題的.他們使用聯(lián)

15、合表對(duì)FFSP設(shè)計(jì)進(jìn)行分類，包括了64個(gè)水平組合中研究的因子達(dá)到15個(gè)的設(shè)計(jì).雖然這些工作很有價(jià)值，但如在篩選試驗(yàn)中考慮的WP因子和SP因子個(gè)數(shù)很多時(shí)，他們給出的設(shè)計(jì)就不能滿足要求了.為此，我們?cè)诘?章給出新的構(gòu)造原則來獲得非正規(guī)因析裂區(qū)設(shè)計(jì)，考慮從特定的正交表中選擇獨(dú)立列及其生成列作為WP因子來構(gòu)造裂區(qū)設(shè)計(jì).這種構(gòu)造方法的提出主要是基于保持裂區(qū)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)必要條件：1.SP因子主效應(yīng)不能同WP因子主效應(yīng)或WP因子交互效應(yīng)完全混雜；2

16、.生成WP設(shè)計(jì)的p1列必須是合格的，即，這些列可以構(gòu)成一個(gè)有著相同重復(fù)次數(shù)的2p1全設(shè)計(jì).在第4章中，我們?cè)贕MA的準(zhǔn)則下討論了12，16，20和24個(gè)水平組合的二水平最優(yōu)因析裂區(qū)設(shè)計(jì).由于Hadamard陣提供了大量容易獲得的正交設(shè)計(jì)，所以研究的設(shè)計(jì)都是來自Hadamard矩陣.因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，采用的大部分正交設(shè)計(jì)確實(shí)來自Hadamard陣.然而，對(duì)于給定的試驗(yàn)次數(shù)，會(huì)有很多非同構(gòu)的Hadamard陣.從中列舉所有的子設(shè)計(jì)其計(jì)算量是