Swift-Hohenberg方程的動(dòng)力學(xué).pdf

1、Swift-Hohenberg方程在分叉分析的研究中有重要地位.這個(gè)方程由Swift和Hohenberg于1977年首先提出,是一個(gè)研究卷波的Rayleigh-Bénard不穩(wěn)定性的簡(jiǎn)單模型.無(wú)論是從分析方面或者是數(shù)值計(jì)算方面,這一方程都被廣泛研究.
　　 本論文的第二章將考慮含五次非線性項(xiàng)的Swift-Hohenberg方程在一維區(qū)域(0,L)上Dirichlet邊界條件下的解u(x,t)的漸近行為,將α和區(qū)域長(zhǎng)度L作為分叉參

2、數(shù),證明了在一些分叉點(diǎn)處由平凡解分叉出非平凡解,并由此得到使得平凡解穩(wěn)定的參數(shù)L的范圍.運(yùn)用隱函數(shù)定理,得到了非平凡解在分叉點(diǎn)處的局部性態(tài).通過(guò)解u(x,t)的整體估計(jì),得到了全局吸引子的存在性.借助于中心流形分析,當(dāng)分叉點(diǎn)相距很近時(shí),得到了原方程在中心流形上的約化方程,細(xì)致地刻畫了兩種不同的分叉結(jié)構(gòu),并討論了分叉解的穩(wěn)定性.
　　 在第三章中,考慮了含五次非線性項(xiàng)的Swift-Hohenberg方程在一維區(qū)域(0,L)上Neu

3、mann邊界條件下的解u(x,t)的漸近行為,類似于第二章,得到了相應(yīng)的結(jié)論.與第二章相比,得到了使得平凡解穩(wěn)定的參數(shù)L的不同范圍,體現(xiàn)了初值函數(shù)u0(x)對(duì)平凡解的線性穩(wěn)定性的影響.當(dāng)分叉點(diǎn)相距很近時(shí),刻畫了兩種不同的分叉結(jié)構(gòu),與第二章相比,發(fā)現(xiàn)即使對(duì)于分叉點(diǎn)附近相同的L,分叉解的穩(wěn)定性也可能發(fā)生改變,這些體現(xiàn)出邊界條件對(duì)于分叉解的穩(wěn)定性的影響.
　　 在第四章中,考慮了廣義Swift-Hohenberg方程的分叉情況.首先考

4、慮了一維廣義Swift-Hohenberg方程在三種邊界條件下的分叉.借助于Liapunov-Schmidt約化,原方程轉(zhuǎn)化為約化方程,相應(yīng)地通過(guò)討論約化方程的分叉來(lái)討論原方程,得到了在三種邊界條件下分叉解的漸近形式.其中,當(dāng)取第三利邊界條件時(shí)得到的分叉解存在的參數(shù)范圍與已有結(jié)果是一致的,這里得到的結(jié)果更加全面.其次,討論了二維廣義Swift-Hohenberg方程在周期邊界條件下的分叉.針對(duì)線性化算子的零空間的不同情況。討論了其中三種

5、.由擾動(dòng)方法得到了由平凡解分叉出的非平凡解的漸近形式,并討論了分叉解的穩(wěn)定性,得到了使得非平凡解穩(wěn)定的參數(shù)范圍.
　　 在第五章中,考慮了二維修正Swift-Hohenberg方程在周期邊界條件下的分叉.根據(jù)線性化算子的零空間的不同,討論了其中三種情況.由擾動(dòng)方法得到了由平凡解分叉出的非平凡解的漸近形式,并討論了分叉解的穩(wěn)定性.并把所得結(jié)果與第四章相比,顯示出不同的非線性項(xiàng)對(duì)于系統(tǒng)的影響.與第四章相比,在第一種情況下,分叉點(diǎn)的類