工程力學(xué)下冊(cè)05質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程

1、,● 5.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律與慣性參考系,動(dòng)力學(xué)是研究作用在物體上的力與物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化之間關(guān)系的學(xué)科。動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象是運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體，屬經(jīng)典力學(xué)。動(dòng)力學(xué)是物理學(xué)和天文學(xué)的基礎(chǔ)，也是許多工程學(xué)科的基礎(chǔ)。 動(dòng)力學(xué)的研究以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)；牛頓運(yùn)動(dòng)定律的建立則以實(shí)驗(yàn)為依據(jù)。動(dòng)力學(xué)是牛頓力學(xué)(又稱經(jīng)典力學(xué))的一部分，但自20世紀(jì)以來(lái)，動(dòng)力學(xué)又常被人們理解為側(cè)重于工程技術(shù)應(yīng)用方面的一個(gè)力學(xué)分支。

2、 質(zhì)點(diǎn)是具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)是物體最簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)的模型，是構(gòu)成復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)。動(dòng)力學(xué)可分為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)，前者是后者的基礎(chǔ)。,,● 5.1.1 動(dòng)力學(xué)基本定律(牛頓定律) 牛頓第一定律(慣性定律),任何物體，如果不受外力作用(包括所受合外力為零的情況)，將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這是物體的固有屬性，稱為慣性。這個(gè)定律定性地表明了物體受力與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，即力是改變物體運(yùn)

3、動(dòng)狀態(tài)的根本原因。,牛頓第二定律(力與加速度之間的關(guān)系定律),物體受到外力作用時(shí)，所產(chǎn)生的加速度的大小與作用力的大小成正比，而與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。用方程表示為,,或,,(5-1),式中，F(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)所受的力；m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；a為質(zhì)點(diǎn)在力F作用下產(chǎn)生的加速度。 該表達(dá)式又稱質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。,,牛頓第三定律(作用與反作用定律),兩物體間相互作用的作用力和反作用力，總是大小相等、方向相反、沿著同一直線

4、。這一定律是靜力學(xué)的公理之一，適用任何受力或任何運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體。 作用與反作用定律對(duì)研究質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題具有重要意義。因?yàn)榕ｎD第二定律只適用于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，而本章將要研究的問(wèn)題大多是關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的，牛頓第三定律給出了質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的關(guān)系，從而使質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的理論能推廣應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系。,● 5.1.2 慣性參考系,動(dòng)力學(xué)基本定律涉及質(zhì)點(diǎn)的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——靜止、勻速直線運(yùn)動(dòng)和加速運(yùn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所給出的結(jié)論只有在慣性參考系

5、中才是正確的。 在某參考系中，若觀測(cè)某個(gè)所受合外力等于零的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，如果此質(zhì)點(diǎn)正好處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則該參考系稱為慣性參考系。,,● 5.2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程及其應(yīng)用,● 5.2.1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程,在解決工程實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常將動(dòng)力學(xué)的基本方程(5-1)改寫(xiě)為其他不同形式，以便應(yīng)用。,1. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式,如圖5.1所示，設(shè)有質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M受到力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的作用做曲線運(yùn)動(dòng)，合力為

6、FR，用r表示質(zhì)點(diǎn)的位矢，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為,,(5-2),應(yīng)用矢量形式微分方程進(jìn)行理論分析非常方便，但有時(shí)求解某些具體問(wèn)題時(shí)很困難，而且所得到結(jié)果的力學(xué)意義也不很明顯。因此，多數(shù)問(wèn)題的求解仍需根據(jù)具體問(wèn)題選擇合適的坐標(biāo)形式。,,2. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式,由矢量方程(5-2)在圖5.1中的直角坐標(biāo)系上投影，可得到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式,,(5-3),直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程，原則上適用于所有問(wèn)題，也是最常用的

7、形式。但對(duì)某些具體問(wèn)題仍有不便之處，如質(zhì)點(diǎn)沿球面或柱面運(yùn)動(dòng)時(shí)，用直角坐標(biāo)就不如用球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)方便。,,3. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知時(shí)，如圖5.2所示，在點(diǎn)上建立由切線、主法線、副法線組成的自然坐標(biāo)系。由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)可知，點(diǎn)的加速度在密切面內(nèi)，而在副法線上的投影為零。將矢量方程(5-2)投影到自然坐標(biāo)系上，可得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式,,(5-4),式中， 為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑； 為質(zhì)點(diǎn)的切向

8、加速度； 為質(zhì)點(diǎn)的法向加速度。,,,,除了以上幾種常見(jiàn)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程外，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，還可以應(yīng)用其他形式，如柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、極坐標(biāo)等。正確分析研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，選擇一組合適的微分方程，會(huì)使問(wèn)題的求解過(guò)程大為簡(jiǎn)化。,● 5.2.2 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題,第一類基本問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求解此質(zhì)點(diǎn)所受的力。第二類基本問(wèn)題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 一般來(lái)說(shuō)，第一類基本問(wèn)題需用微分和代數(shù)方法

9、求解，第二類基本問(wèn)題需用積分方法求解。對(duì)于含有非線性函數(shù)的運(yùn)動(dòng)微分方程，大多數(shù)情況下很難得到解析解，通常只能應(yīng)用數(shù)值方法求解。此外，求解微分方程時(shí)將出現(xiàn)積分常數(shù)，這些積分常數(shù)通常根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件(如初始速度和初始位置等)來(lái)確定。因此，對(duì)于這類問(wèn)題，除了作用于質(zhì)點(diǎn)的力外，還必須知道質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件。,,● 5.2.3 應(yīng)用舉例,【例5.1】 曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖5.3(a)所示。曲柄OA以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，其中OA=r、AB=

10、l，當(dāng) 比較小時(shí)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可近似寫(xiě)為 。如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當(dāng) 和 時(shí)，連桿AB所受的力。,,,解：以滑塊B為研究對(duì)象，當(dāng) 時(shí)，受力如圖5.3(b)所示。由于不計(jì)連桿質(zhì)量

11、，連桿AB 為二力桿，則它對(duì)滑塊B的力F沿AB方向。,,,寫(xiě)出滑塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程,,由題設(shè)的運(yùn)動(dòng)方程，可以求得,,當(dāng) 時(shí)， ，且 ，得AB桿受拉力,,,,當(dāng) 時(shí)， ， ，則有,,,,,得AB桿受壓力,,,【例5.2】 如圖5.

12、4所示，小球質(zhì)量為m，懸掛于長(zhǎng)為l的細(xì)繩上，繩重不計(jì)。小球在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)時(shí)，在最低處的速度為v；擺到最高處時(shí)，繩與鉛垂線夾角為 ，此時(shí)小球速 度為零。試分別計(jì)算小球在最低和最高位置時(shí)繩的拉力。解：如圖5.4所示，由于小球做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最低處受重力G=mg和繩拉力F1 。此時(shí)有法向加速度 ，由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向的投影式，有,,則繩的拉力,,,小球在最高處 角時(shí)，受力分析如圖5.4所示，

13、由于小球此時(shí)速度為零，法向加速度為零，則其運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向投影式為,,則繩的拉力,,思 考 題,5-1 一宇航員體重為700N，在太空中漫步時(shí)，他的體重與在地球上一樣嗎？ 5-2 什么是慣性？是否任何物體都具有慣性？正在加速運(yùn)動(dòng)的物體，其慣性是仍然存在還是已經(jīng)消失？,,5-3 如圖5.5所示，繩子通過(guò)兩個(gè)定滑輪，在繩的兩端分別掛著兩個(gè)質(zhì)量完全相同的物體，開(kāi)始時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)。若給右邊的物體一水平速度，則左邊物體應(yīng)該_

14、_____。,5-4 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向是否一定與質(zhì)點(diǎn)受合力的方向相同？某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度大，是否說(shuō)明該質(zhì)點(diǎn)所受的作用力也一定大？5-5 質(zhì)量相同的兩物體A和B，其初速度相同均為v0?，F(xiàn)在兩物體上分別作用力FA和FB，若FA>FB，經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間間隔后，則有______。 A B C D 不能確定,,,,5-6 質(zhì)量為

15、m的質(zhì)點(diǎn)在力F作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，如圖5.6所示。根據(jù)動(dòng)力學(xué)基本方程的描述，選出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與所受力的關(guān)系不可能出現(xiàn)的應(yīng)是______。,5-7 若知道一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和所受到的力，能否知道它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？,,習(xí) 題,5-1 質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)方程為 ， 其中b、d、 為常量。求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。,,,5-2 如圖5.7所示，在均勻靜止的液體中，質(zhì)量為m的物體M從液面

16、處無(wú)初速度下沉，如圖所示。假設(shè)液體阻力 ，其中 為阻尼系數(shù)。試分析該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,,5-3 如圖5.8所示，起重機(jī)上吊車吊著質(zhì)量 的物體，沿軌道以角度度 做勻速運(yùn)動(dòng)。因故緊急制動(dòng)后，重物由于慣性繞懸點(diǎn)O向前擺動(dòng)。已知繩長(zhǎng)l=3m，若不計(jì)繩的質(zhì)量，求制動(dòng)后繩子的最大拉力。,,,,5-4 如圖5.9所示的機(jī)構(gòu)中，偏心輪繞軸O以勻角速度w

17、 轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)挺桿AB沿鉛垂滑道運(yùn)動(dòng)，挺桿頂部放有質(zhì)量為m的物快D。設(shè)偏心輪偏心距OC = e，輪心C在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)位于鉛垂線ABO上，試求在任意瞬時(shí)物塊D對(duì)挺桿的壓力和保證物塊D不離開(kāi)挺桿的偏心輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的最大值 。,,5-5 如圖5.10所示，料車的料斗連同所載物料的質(zhì)量 ，車架與車輪的質(zhì)量 。如料斗彈簧按

18、 的規(guī)律作鉛垂運(yùn)動(dòng)，試求料車對(duì)水平直線軌道的最大壓力與最小壓力。,,,,,5-6 如圖5.11所示，質(zhì)量 的小球，放在傾角 的光滑面上，并用平行于斜面的繩將小球固定在圖示位置。如斜面以 的加速度向左運(yùn)動(dòng)，求繩的拉力 及小球?qū)π泵娴膲毫?；欲使繩的張力為零，加速度a應(yīng)為多大？,,,,,5-7 如圖5.12所示，質(zhì)量為m的球A，用兩根長(zhǎng)為l的桿支撐。支撐架

19、以勻角速度 繞鉛直軸BC轉(zhuǎn)動(dòng)。已知BC=2a；桿AB及AC的兩端均為鉸接，桿重忽略不計(jì)。求桿AB、AC所受的力。,精品課件！,精品課件！,,5-8 如圖5.13所示，半徑為R，內(nèi)壁光滑的環(huán)形管，在水平面內(nèi)以勻角速度 繞鉛垂軸A轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m的小球M在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)。初始時(shí)，小球在環(huán)形管C點(diǎn)處( )，相對(duì)速度為零。試建立小球的運(yùn)動(dòng)微分方程，求管壁側(cè)面作用在小球上的力，并證明小球的運(yùn)動(dòng)范圍為