篩法及其應(yīng)用.pdf

1、篩法是數(shù)論中著名的篩選素數(shù)的方法。具體的，是篩出某一序列A中與素數(shù)乘積函數(shù)P(z)互素的元素，其中P(z)是與篩集合(β)有關(guān)的截斷函數(shù)（可參考[16]）。篩法起源可能要追溯到古希臘的丘ratosthène，但是由于余項處理、參數(shù)選擇等問題，這種篩法在應(yīng)用上有一定的局限性;后來，挪威數(shù)學(xué)家Brun在1917年到1924年之間發(fā)明了組合篩法理論，這種篩法具有很強的應(yīng)用性，在很多問題上可以得到一些很好的結(jié)果;1947年，基于二次型一個優(yōu)美的

2、優(yōu)化設(shè)計，Selberg發(fā)明了Selberg篩法，相對于之前的Brun篩法，它理論上較為簡明，技巧上更為靈活，估計上更加精細(xì);目前組合篩法最好的結(jié)果是20世紀(jì)80年代的Rosser-Iwaniec篩法[18][19]，它被認(rèn)為是篩法的極致，除了在余項處理上更為靈活外，在最好的情形下它可在上界估計主項中漸近的有一個常數(shù)因子的改進(jìn)。
　　篩法是數(shù)論中一個強有力的工具，在許多著名的數(shù)論問題中都有應(yīng)用。比如孿生素數(shù)猜想，哥德巴赫猜想，不可

3、約多項式表示成無窮多個素數(shù)問題等等。1973年，陳景潤[7]在Bombieri[2]，Renyi[24]，潘承洞[21]，王元[27]等人的工作基礎(chǔ)上，利用雙篩法在哥德巴赫猜想上取得重大進(jìn)展，即得到了著名的“1+2”陳氏定理:假設(shè)x為一個充分大的偶數(shù)，p為一個素數(shù)，并定義P2為一個最多有兩個素因子的整數(shù)，那么方程x=p+P2有解。且若令Px(1，2)為上述方程的解，那么有Px(1，2)≥0.67C(x)x/(log x)2，其中C(x)

4、=Πp|x p＞2p-1/p-2Πp＞2（1-1/(p-1)2）.若將上述方程右邊的P2改進(jìn)到一個素數(shù)p，即可證明偶數(shù)的哥德巴赫猜想。而在孿生素數(shù)問題上，若令pn代表第n個素數(shù)，并記△:=lim infn→∞ pn+1-pn/logpn1940年，Erd(o)s[11]用Brun篩法最先證明△＜1。2009年，Goldston，Pintz和Yildirim[14]利用篩法最先證明了△=0，且在2010年，他們[15]又證明了下式lim

5、inf n→∞ pn+1-pn/√log pn(log log pn)2＜∞.現(xiàn)在我們又稱他們所用的篩法為G-P-Y篩法。2014年，張益唐[30]在孿生素數(shù)猜想上取得重大進(jìn)展，他在Goldston，Pintz和Yildirim的上述工作基礎(chǔ)上，成功證明了lim infn→∞(pn+1-pn)＜7×107。
　　在上面所述的兩個著名猜想發(fā)展改進(jìn)過程中，篩法都起到了舉足輕重的關(guān)鍵作用。而在相鄰整數(shù)間的最大素因子問題上，篩法也同樣有用

6、處。若n，n+1是自然數(shù)，記P(n)，P（n+1）分別為n，n+1的最大素因子，令E(x）:=|{n≤x:P（n）＞P(n+1)}|。人們猜想當(dāng)x足夠大時，E(x)漸進(jìn)等于x/2，且更一般的，n和n+1的最大素因子是“相互獨立事件”。這個猜想看起來比較簡單，不過卻是一個很難很深刻的問題。著名數(shù)學(xué)家Tenenbaum[25]曾說過“It lies inthe same class of problems than the famous a

7、bc-conjecture”。這方面最早的結(jié)果來自Erd(o)s和Pomerance[13]，他們在1978年得到結(jié)果:對足夠大的x，E(x)≥0.0099x，但是在他們的證明中篩法并未起主要作用。2005年，dela Bretèche、Pomerance和Tenenbaum[4]利用篩法得到更好的估計E(x)≥0.05544x.文章最后作者說Fouvry后來指出將此篩法改變一下篩的序列可以得到更好的結(jié)果，但并未給出具體的證明過程。第二

8、章將系統(tǒng)介紹篩法的一些基本概念:篩序列A，篩集合(β)及篩函數(shù)S(A;(B)，z)。在引進(jìn)篩函數(shù)時，也將同時介紹篩法的本質(zhì)思想。在第三章中，我們將介紹幾類篩法:Eratosthène-Legendre篩法，Brun組合篩法，Selberg篩法以及Rosser-Iwaniec篩法。而在第四章，我們將給出篩法的兩個應(yīng)用。首先，為了熟悉篩法以及篩序列篩函數(shù)的選取，我們先給出“1+2”陳氏定理的一個簡要證明。其次，在兩個相鄰整數(shù)的最大素因子問題