尋求R3中緊凸體剛性邊界的最優(yōu)切割路線.pdf

1、本論文以凸體為研究對(duì)象,利用可將凸體剛性分離的切割線的充分必要條件和存在性,給出了尋求凸體最小投影面積的一個(gè)方法,證明了當(dāng)投影面積最小時(shí)切割線也達(dá)到最短。最后運(yùn)用變分法中條件極值的相關(guān)知識(shí)得到了切割線的極小值。
　　 尋求最小投影面積的一個(gè)方法:
　　 本論文所討論的投影都是在正象限集的垂直投影。設(shè)M是R3中的一個(gè)緊凸體,AB為M的直徑,經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)使得AB與xoy平面平行。記此時(shí)P(M)的面積為S0。設(shè)f(P,θ)為

2、投影區(qū)域P(M)內(nèi)任意兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)函數(shù)。f(P,θ)x、f(P,θ)y分別為x、y方向上的最大弦長(zhǎng)函數(shù)。主要運(yùn)用旋轉(zhuǎn)M的方法尋找最小投影面積,即在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中當(dāng)f(P,θ)x、f(P,θ)y都取得最小值時(shí),投影面積達(dá)到最小。
　　 在本論文第二章中證明了當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)f(P,θ)是連續(xù)變化的,所以運(yùn)用旋轉(zhuǎn)時(shí)觀察弦長(zhǎng)的變化是可行的。下面我們簡(jiǎn)單介紹一下操作步驟。
　　 第一步尋找f(P,θ)x的極小值:
　　 設(shè)AB在x

3、oy平面內(nèi)的投影為A'B',在P(M)內(nèi)x方向上最長(zhǎng)的弦為C'D'且A'B'⌒C'D'=m。固定AB,讓M以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng),每次旋轉(zhuǎn)的角度為Δθ(Δθ→0),觀察C'D'的變化。
　　 當(dāng)C',D'同時(shí)靠近m點(diǎn)時(shí),C'D'的長(zhǎng)度減小,這時(shí)P(M)的面積也在減小。當(dāng)C',D'兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)不再靠近m點(diǎn)時(shí),C'D'達(dá)到極小值。這時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng),在M中找到C',D'的原像C,D∈bdM。
　　 第二步尋找f(P,θ)y的極小值:

4、r>　　 固定CD,讓M以CD為軸轉(zhuǎn)動(dòng),每次旋轉(zhuǎn)的角度為Δθ(△θ→0)。觀察A'B'的變化。和第一步中觀察C'D'的方法一樣,當(dāng)A'B'的長(zhǎng)度達(dá)到極小值時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng),這時(shí)在M中找到A'B'的原像A1B1,記此時(shí)P(M)的面積為S1。
　　 第三步比較f1(P,θ)x與f1(P,θ)y的大小:
　　 (1)當(dāng)f1(P,θ)x　　 (2)當(dāng)f1(P,θ)x≥f1(

5、P,θ)y時(shí),重復(fù)上述第一步到第三步,直到f(P,θ)x與f(P,θ)y都不再減小,記此時(shí)P(M)的面積為S2。則S2即為所求。若無(wú)論M怎樣旋轉(zhuǎn)f(P,θ)x與f(P,θ)y始終相等時(shí),則M是一個(gè)球,論文第二章給出了證明,這時(shí)的投影面就是大圓面。
　　 一般情況下最少繞兩個(gè)固定的軸旋轉(zhuǎn)就可以找到P(M)的最小面積。2.3.3中以橢球?yàn)槔M(jìn)行了說(shuō)明。凸體的邊界、投影線和投影面一起可以看作是一個(gè)柱體。切割線就是這個(gè)柱體與凸體的交線,