任意四邊形單元和各向異性單元的若干問題研究.pdf

1、四邊形單元與三角形單元相比，具有網(wǎng)格簡單、剛度矩陣帶寬小、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，而矩形單元對(duì)求解區(qū)域的邊界的近似有一定的局限性，因此將任意四邊形單元用于求解問題更有理論意義和實(shí)際價(jià)值。 G．Acosta，RDurSn在文獻(xiàn)中指出弱角條件RDP(N，ψ)似乎是最弱的網(wǎng)格條件，并證明了在此條件下凸四邊形單元K上Q1等參元在HI模下的最優(yōu)插值誤差估計(jì)，即RDP(N，ψ)是凸四邊形單元K上Q1等參元在H1模下取得最優(yōu)插值誤差估計(jì)的充分條件．但

2、是否是必要條件呢?他們將它作為一個(gè)懸而未決的問題．Z．Zhang在f691中推測它是必要的．然而，本文通過一個(gè)反例證明了弱角條件RDP(N，ψ)不是凸四邊形單元K上Q1等參元在H1模下取得最優(yōu)插值誤差估計(jì)的必要條件，從而圓滿解決了這一問題． 對(duì)于Stokes問題，本文構(gòu)造了兩個(gè)新的低階非協(xié)調(diào)任意四邊形單元．新單元與以前用于討論相同問題的單元相比兼有構(gòu)造簡單；使用方便；形函數(shù)空間的基函數(shù)的次數(shù)低；能較好的逼近求解區(qū)域邊界等優(yōu)勢．由

3、于新單元不含任何協(xié)調(diào)部分，誤差估計(jì)比較困難，通過采用更加簡潔的證明方法得到了最優(yōu)誤差估計(jì)．特別指出的是，其中一個(gè)單元在矩形網(wǎng)格下，還是一個(gè)Locking-free元，可用于平面彈性問題．另外，本文通過引入變網(wǎng)格思想又將該單元用于非定常Stokes問題得到了最優(yōu)誤差估計(jì)． 眾所周知，在構(gòu)造有限元時(shí)，單元自由度和形函數(shù)空間應(yīng)當(dāng)匹配，一方面使有限元空間中的函數(shù)在跨越單元邊界時(shí)，具有某種積分意義下的連續(xù)性，同時(shí)自由度又是有限元離散方程的

4、未知量，應(yīng)取得簡單，使整體自由度盡量的少．同時(shí)具備這兩個(gè)性質(zhì)的自由度的選取往往是很困難的．陳紹春教授和石鐘慈院士提出了構(gòu)造有限元的雙參數(shù)法恰好解決了這一矛盾，并由此構(gòu)造了許多有價(jià)值的雙參數(shù)有限元(見[54,70,71]等)．但有關(guān)雙參數(shù)有限元方法用于變分不等式問題的研究還不多．因此本文將一個(gè)12參雙參數(shù)矩形板元用于四階位移障礙變分不等式問題，同時(shí)通過引入與已有文獻(xiàn)不同的新技巧給出了與常規(guī)有限元相同的最優(yōu)誤差估計(jì)．值得一提的是，我們的結(jié)論

5、對(duì)幾乎所有已知的非協(xié)調(diào)元都成立。 各向異性有限元方法的研究是目前有限元領(lǐng)域內(nèi)的亮點(diǎn)和難點(diǎn)之一。由于在各向異性網(wǎng)格剖分下，傳統(tǒng)的Sobolev插值理論不能直接利用．雖然T．Apel[38]給出了一個(gè)檢驗(yàn)單元能否應(yīng)用于各向異性網(wǎng)格的標(biāo)準(zhǔn)，但應(yīng)用起來很不方便．陳紹春教授和石東洋教授概括了T．Apel的結(jié)果并提出了一個(gè)便于操作的插值定理并將其廣泛應(yīng)用于二階問題和四階問題中的許多著名的單元(見[20,64,65,66,67]等)。在實(shí)際工

6、程計(jì)算中，有限元的超逼近和超收斂分析占有非常重要的地位，她一直是數(shù)值分析家們研究的熱點(diǎn)問題之一．以林群院士為首的科研小組利用積分恒等式技巧對(duì)許多單元作了研究并得到了很好的結(jié)果。但幾乎所有關(guān)于這些單元的超收斂性結(jié)果都要求網(wǎng)格滿足正則性假設(shè)和擬一致假設(shè)㈣．有關(guān)各向異性網(wǎng)格下非協(xié)調(diào)元的超逼近和整體超收斂分析的文獻(xiàn)還不多見。 本文首先將一個(gè)低階的具有各向異性特征的非協(xié)調(diào)四邊形單元(僅有三個(gè)獨(dú)立的自由度)用于求解Stokes方程并給出了一

7、個(gè)組合加罰方法，它不僅可以在罰因子較大時(shí)得到與傳統(tǒng)有限元加罰法中罰因子較小時(shí)同樣的精度，而且對(duì)同一級(jí)別的罰因子其收斂階是傳統(tǒng)方法的二倍，這是Falk等人提出的加罰外推法所不能得到的結(jié)果，該方法還可以應(yīng)用于Navier-Stokes方程． 其次，我們將各向異性有限元用于耦合問題，利用具有各向異性特征的雙線性元和雙二次元構(gòu)造了一個(gè)非協(xié)調(diào)mortar元，利用積分恒等式技巧得到了與傳統(tǒng)方法完全相同的超逼近結(jié)果．需要指出的是，本文所提供的