壓縮感知中最優(yōu)限制等距常數(shù)界.pdf

1、壓縮感知是近十年來國際應(yīng)用數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域一個十分重要的熱門研究方向，它涉及到函數(shù)逼近理論，統(tǒng)計(jì)理論，矩陣?yán)碚?，以及?yōu)化理論等重要研究領(lǐng)域，特別是由于它在核磁共振等領(lǐng)域中的成功應(yīng)用，以及大數(shù)據(jù)科學(xué)的迫切要求，使得該領(lǐng)域的研究越來越重要了。
　　限制等距性質(zhì)(RIP)常數(shù)是壓縮感知中的核心概念，它的重要性在于可以利用RIP常數(shù)的上界估計(jì)，將一個組合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個凸優(yōu)化問題。2005年E.J.Candès和T.Tao創(chuàng)造性的利用RIP

2、常數(shù)的上界刻畫其等價性。此項(xiàng)工作引起國際同行的極大關(guān)注（2006年世界數(shù)學(xué)家大會一個小時報(bào)告及45分鐘報(bào)告均重點(diǎn)介紹了此內(nèi)容）。然而，正如Candès和Tao在論文中指出的，他們的界并不是最佳的。他們指出，可以通過引用更加優(yōu)美的分析技術(shù)，來優(yōu)化上界。因此對最優(yōu)上界的估計(jì)問題，就成了壓縮感知近十年的核心問題之一。所以到目前為止，涌現(xiàn)了大量工作側(cè)重于此上界估計(jì)。特別指出的是Candès證明了當(dāng)δ2k＜√2-1，可以通過l1最小化模型來精確恢

3、復(fù)k稀疏信號。之后，Tony Cai和Anru Zhang在文章[5]中證明了當(dāng)4/3≤t時，δtk＜√/(t-1)/t是最優(yōu)的RIP上界。同時他們猜測當(dāng)0＜t＜3時，δtk＜t/4-t是最優(yōu)的RIP上界。我們在本文第二章中證實(shí)了該猜測，更進(jìn)一步，相似的刻畫同樣被用于低秩矩陣恢復(fù)。因此結(jié)合[5]，關(guān)于所有t＞0時通過l1范數(shù)最小化模型恢復(fù)所有k稀疏信號的緊的RIP常數(shù)δtk界問題得到了徹底解決。同時，我們也討論了噪音情形和逼近稀疏情形。

4、為了解決這個猜測，我們利用凸多面體的稀疏表示，引入了組合的方法，使得tk階RIP條件可以被完美應(yīng)用。
　　在第三章中，我們同樣考慮用lp最小化(0＜p≤1)來恢復(fù)稀疏信號關(guān)于RIP上界的一致分析，這也是關(guān)于lp優(yōu)化問題的一個焦點(diǎn)問題。到目前為止，有大量的文章優(yōu)化它的上界。然而，并沒有得到最優(yōu)的上界估計(jì)。我們將給出一致的最優(yōu)上界估計(jì)，證明了如果測量矩陣A滿足RIP條件δ2k＜δ(p），然后所有k稀疏信號x可以通過帶約束lp最小化來穩(wěn)

5、定恢復(fù)。更進(jìn)一步，我們證明對于任何(∈)＞0，δ2k＜δ(p)+∈不能夠保證恢復(fù)所有k稀疏信號。這個結(jié)果同樣被應(yīng)用到低秩矩陣恢復(fù)上。特別的，當(dāng)p=1時，對應(yīng)的常數(shù)δ(1)=√2/2，這個緊的界在文章[5]中給出了證明。
　　在大量實(shí)際應(yīng)用中，許多信號并不一定在正交基表示下是稀疏的，而是在某個冗余字典表示下是稀疏的，例如在緊框架的表示下是稀疏的。其中矩陣D-RIP常數(shù)是刻畫此類問題的核心概念，在第四章我們側(cè)重于緊框架下稀疏信號的恢復(fù)