某些集值微分方程的可解性及穩(wěn)定性.pdf

1、微分方程最方便的推廣形式之一即是集值微分方程。集值微分方程已經(jīng)成為一門獨(dú)立的學(xué)科，近年來已吸引數(shù)學(xué)界的高度關(guān)注，國(guó)內(nèi)外有許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究，取得了一些突破性的進(jìn)展[]112-。這一理論研究的意義在于它是常微分方程的推廣，當(dāng)集值微分方程中的Hukuhara導(dǎo)數(shù)和積分簡(jiǎn)化為一般的向量導(dǎo)數(shù)和積分(即集值映射轉(zhuǎn)換為單值映射)時(shí)，一般的微分方程就是集值微分方程的特殊情形，而且集值微分方程可以用來處理右端項(xiàng)不連續(xù)的常微分方程問題。其次，當(dāng)

2、集值微分包含中的集值函數(shù)不具有凸值時(shí)，我們可以將集值微分包含轉(zhuǎn)化為集值微分方程來考慮，這樣，集值微分方程就可以作為研究集值微分包含的一種工具。此外，我們還可以借助集值微分方程來研究模糊微分方程等問題。因此，這一理論作為一個(gè)新興的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，具有廣闊的應(yīng)用前景。近年來，這一領(lǐng)域已有許多研究成果，特別是在解的穩(wěn)定性方面取得了很大的進(jìn)展[13-28]，但是集值微分方程的脈沖問題、時(shí)滯問題等方面的研究成果相對(duì)較少，尤其是用不動(dòng)點(diǎn)定理研究這類問題的

3、成果就更少了。因此，還有大量的研究工作無論是從理論上還是從應(yīng)用上來看都十分有意義，值得深入研究。
　　本文主要是研究一些集值微分方程解的存在性問題及穩(wěn)定性問題，如集值泛函微分方程和脈沖集值微分方程等相關(guān)問題。從研究方法看，雖然有如對(duì)比方法、單調(diào)方法等，但Liapunov直接法至今仍是最主要也是最普遍的方法之一。然而，人們利用此方法時(shí)也遇到一些困難，正如美國(guó)數(shù)學(xué)家Burton在文獻(xiàn)[29]（這是第一本系統(tǒng)介紹穩(wěn)定性理論的不動(dòng)點(diǎn)方法的

4、著作）中指出，用Liapunov直接方法至少存在以下不足： Liapunov方法往往要求某些點(diǎn)態(tài)條件，而現(xiàn)實(shí)世界的許多問題是考慮平均值的；Liapunov泛函往往難以構(gòu)造，即使Liapunov泛函找到了，如果它是一個(gè)無界的或者導(dǎo)數(shù)沒有明確定義的情形，那么確定極限又成了困難；應(yīng)用Liapunov方法，首先必須分別證明方程的解的存在性及惟一性，然后再確定穩(wěn)定性。Burton憑他多年研究穩(wěn)定性的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，采用不動(dòng)點(diǎn)理論法可以避免上述困難。事實(shí)

5、上，Burton及其合作者近年來利用不動(dòng)點(diǎn)理論的確獲得了一些頗有影響的結(jié)果。因此，本文主要采用不動(dòng)點(diǎn)方法。
　　全文分為五章：
　　第一章，主要分析了集值微分方程的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，指出本文的研究目的和意義，最后提出本文將要解決的問題。
　　第二章，主要闡述集值分析理論，并給出了集值函數(shù)的Hukuhara導(dǎo)數(shù)和積分的定義以及一些性質(zhì)，為我們后續(xù)的研究工作奠定了基礎(chǔ)。
　　第三章，第一節(jié)主要研究一階時(shí)滯集值泛函微分方

6、程初值問題解的存在性和惟一性，利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理和壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理考慮以下初值問題：
　　DHU=F(t,Ut),U0=Ut,t∈J
　　第二節(jié)主要利用壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，討論了如下集值泛函微分積分方程初值問題解的存在性和惟一性：(公式略)
　　并在此基礎(chǔ)上，研究了如下脈沖集值泛函微分積分方程初值問題解的存在性：(公式略)
　　第四章，第一節(jié)主要利用壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理證明如下集值微分方程解的存在性和穩(wěn)定性：(公式略)