Ramanujan常數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)、性質(zhì)及其應(yīng)用.pdf

1、眾所周知，Gauss超幾何函數(shù)F(a,b;c;Γ)在特殊函數(shù)中具有極為重要的地位，它與許多其他類型的特殊函數(shù)相關(guān)，其性質(zhì)和Γ-函數(shù)，ψ-函數(shù)以及Beta函數(shù)B(a，b)密切相關(guān)。Ramanujan常數(shù)R(a)不僅在零平衡的Gauss超幾何函數(shù)F(a，1-a;1;x)的研究中起著至關(guān)重要的作用，在特殊函數(shù)的一些其它領(lǐng)域也是必不可少的。例如，在對(duì)廣義橢圓積分Ka(r)和εa(r)，廣義模方程的解ψK(a，r)以及由ψK(a，r)定義的λ（a

2、，K）和ηK(a，t)等特殊函數(shù)分析性質(zhì)的研究中經(jīng)常用到Ramanujan常數(shù)R(a)。但R(a)的已知性質(zhì)尚不能滿足應(yīng)用中的需要，而揭示R(a)性質(zhì)的主要障礙之一是缺乏行之有效的研究工具。不少研究工作表明，R(a)的級(jí)數(shù)展開(kāi)是重要而有效的研究工具。本文的主要目的是建立Ramanujan常數(shù)R(a)的不同類型級(jí)數(shù)、進(jìn)一步揭示Ramanujan常數(shù)與Beta函數(shù)的緊密關(guān)系，并通過(guò)研究R(a)與一些初等函數(shù)組合的性質(zhì)，獲得R(a)的一些重要

3、性質(zhì)。
　　本文由以下三章構(gòu)成:
　　第一章，主要介紹了本文的研究背景，并引入本文所涉及的一些概念、記號(hào)和部分已有結(jié)果。
　　第二章，我們首先建立了Ramanuj an常數(shù)R(a)、B(a)=B（a，1-a）的不同類型的級(jí)數(shù)展開(kāi)式和R(a)-B(a)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并運(yùn)用這些結(jié)果得出了Riemanzeta函數(shù)滿足的一些等式。
　　第三章，通過(guò)研究Ramanujan常數(shù)R(a)與某些初等函數(shù)組合的分析性質(zhì)，獲得了R