線性代數(shù)系統(tǒng)迭代解法與預(yù)條件方法研究.pdf

1、計算數(shù)學(xué)的應(yīng)用遍及當(dāng)前科學(xué)與工程的各個領(lǐng)域，在航空航天、生命科學(xué)、資源勘探、材料設(shè)計等方面都發(fā)揮著重要的作用.科學(xué)技術(shù)人員利用現(xiàn)代高性能的計算機，從數(shù)學(xué)理論出發(fā)，建立問題模型，經(jīng)過求解相應(yīng)的方程，得到最后期望的結(jié)果。在這一系列的過程中，大型稀疏線性代數(shù)系統(tǒng)的求解在整個問題求解時間中占有很大的比重，有的甚至達到80％。因此，作為大規(guī)?？茖W(xué)計算基礎(chǔ)的線性代數(shù)系統(tǒng)的高效數(shù)值求解引起了人們的普遍關(guān)注，成為了大規(guī)模科學(xué)與工程計算的核心問題之一，它

2、的研究具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。這種線性代數(shù)系統(tǒng)的求解一般采用迭代法，所以迭代法的收斂性和收斂速度也就成為了人們關(guān)注的焦點，是許多專家和學(xué)者研究的課題。本文針對某些特定的大型稀疏線性代數(shù)系統(tǒng)的迭代解法進行了深入、系統(tǒng)的研究，特別研究了迭代法的收斂性、比較定理以及迭代法的預(yù)條件技術(shù)。本文主要內(nèi)容和創(chuàng)新點如下:
　　1.針對Z-矩陣線性系統(tǒng)，研究了預(yù)條件SOR迭代方法和預(yù)條件Gauss-Seidel迭代方法，構(gòu)建了新型的預(yù)條件

3、矩陣，給出了詳細的理論分析和收斂速度的比較，數(shù)值算例驗證了所提方法的有效性。
　　2.正定線性代數(shù)系統(tǒng)的預(yù)條件迭代求解一直是許多學(xué)者研究的熱點，而M-矩陣作為一類特殊的正定矩陣，如何利用它的一些特殊性質(zhì)有針對性地構(gòu)造預(yù)條件方法更是令許多學(xué)者著迷。本文針對M-矩陣線性代數(shù)系統(tǒng)，引入了一種新型的預(yù)條件矩陣，構(gòu)建了預(yù)條件AOR迭代方法，證明了若原系統(tǒng)的系數(shù)矩陣是M-矩陣，則預(yù)條件后的系數(shù)矩陣也是M-矩陣的結(jié)論，并給出了新方法的收斂分析。

4、數(shù)值算例驗證了新方法的收斂速度優(yōu)于經(jīng)典的AOR方法。
　　3.針對H-矩陣線性系統(tǒng)，構(gòu)造了兩種新穎的預(yù)條件矩陣，建立了兩種相應(yīng)的預(yù)條件Gauss-Seidel迭代方法，確定了方法收斂的條件。借助于H-矩陣所具有的特殊性質(zhì)，給出了預(yù)條件迭代方法與經(jīng)典迭代方法之間收斂速度的比較.對于預(yù)條件矩陣中所涉及的參數(shù)，還給出了參數(shù)的取值區(qū)間，并用MATLAB語言進行編程計算，驗證了新方法的有效性和優(yōu)越性。
　　4.利用預(yù)條件方法，構(gòu)造了雙