無(wú)窮狀態(tài)自動(dòng)機(jī)序列,k-正則序列及相關(guān)問(wèn)題的研究.pdf

1、本文主要研究了一類(lèi)整數(shù)序列的正則性,并將有限字符集上的代換和有限自動(dòng)機(jī)的概念推廣到了無(wú)窮字符集上.同時(shí)研究了無(wú)窮字符集上的代換和無(wú)窮狀態(tài)自動(dòng)機(jī)所生成序列的正則性.最后研究了一類(lèi)由Cantor-like序列生成sum-free集的一些性質(zhì),著重研究了它們的正則性.
　　具體的說(shuō),我們研究了三類(lèi)序列的正則性問(wèn)題:第一類(lèi)是序列{[logb(αn+β)]}n≥0的正則性刻畫(huà).我們利用語(yǔ)言的正則性,證明了序列{[logb(αn+β)]}n≥

2、0是正則的當(dāng)且僅當(dāng)α∈Q.第二類(lèi)是由無(wú)窮字符集上的代換和無(wú)窮狀態(tài)自動(dòng)機(jī)所生成的序列.將其與有限字符集上的代換和有限自動(dòng)機(jī)的性質(zhì)進(jìn)行比較,重點(diǎn)研究它們生成序列的正則性問(wèn)題,以及在線(xiàn)性回歸投影下正則性不變的等價(jià)刻畫(huà).已知取值有限的正則序列就是自動(dòng)機(jī)序列這一結(jié)論,我們也給出了一種判斷序列非自動(dòng)機(jī)的準(zhǔn)則.第三類(lèi)則是由Cantor-like序列和一些特殊的代換序列所生成的sum-free集.這樣的sum-free集可以被看作是整數(shù)序列.我們研究它

3、們的正則性,并討論了一類(lèi)sum-free集所對(duì)應(yīng)的0?1序列的自動(dòng)機(jī)性質(zhì).
　　令α,β∈R, b≥2是一個(gè)整數(shù). Allouche和Shallit證明了序列{[αn+β]}n≥0是b-正則的當(dāng)且僅當(dāng)α是有理數(shù).在第三章,我們主要討論了語(yǔ)言的正則性問(wèn)題.利用給出的一類(lèi)特殊的語(yǔ)言的正則性與基的變換無(wú)關(guān)的性質(zhì),證明了序列{[logb(αn+β)]}n≥0的正則性的等價(jià)刻畫(huà),即它是正則的當(dāng)且僅當(dāng)α∈Q,這個(gè)結(jié)論不僅回答了Allouche

4、和Shallit提出的問(wèn)題,更是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的進(jìn)一步擴(kuò)展.
　　在第四章,我們首先給出了關(guān)于無(wú)窮字符集上的代換和無(wú)窮狀態(tài)自動(dòng)機(jī)的定義和一些基本性質(zhì).然后重點(diǎn)研究了由它們生成的序列的正則性問(wèn)題,并給出了產(chǎn)生一些非正則序列的條件.接下來(lái)給出了一類(lèi)在線(xiàn)性回歸投影下序列正則性的等價(jià)刻畫(huà).又根據(jù)正則序列和自動(dòng)機(jī)序列之間的關(guān)系,間接給出了一個(gè)判斷序列非自動(dòng)機(jī)的準(zhǔn)則.在本章的最后,給出了關(guān)于無(wú)窮狀態(tài)自動(dòng)機(jī)的一些基本拓展,并研究了由它生成序列的部分

5、性質(zhì).
　　Cameron介紹了在sum-free集合所有0?1序列構(gòu)成的集合之間的一個(gè)雙射.在第五章,我們首先給出了關(guān)于sum-free集的研究背景和研究現(xiàn)狀.我們給出了一類(lèi)由Cantor-like序列和一些特殊的代換序列所生成的自然數(shù)上的sum-free集,并且證明了這樣生成的sum-free集是2-正則的.同時(shí)反過(guò)來(lái)考慮了一類(lèi)特殊的sum-free集所對(duì)應(yīng)的0?1序列的自動(dòng)機(jī)性質(zhì).
　　在最后一章,我們首先系統(tǒng)的總結(jié)了