三、數(shù)列求和專項練習高考題(含知識點)

1、數(shù)列的前 數(shù)列的前 n 項和的求法 項和的求法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式， 特殊聲明 特殊聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比及 公比及 1 的關系，必要時需分類探討.；③常用公式：， ， 1 1 2 3 ( 1) 2 n n n ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1 1 2 ( 1)(2 1) 6 n n n n ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 2 ( 1) 1 2 3 [ ] 2n n n ?

2、? ? ? ? ? ?.例 1、 ，求 的前 n 項和. 3 log1 log23? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n x x x x 3 2解：由 21 2 log log 3 log1 log 3 323 ? ? ? ? ? ? ? x x x由等比數(shù)列求和公式得 〔利用常用公式〕 nn x x x x S ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2＝ ＝ ＝1－ xx x n??1) 1 (21 1) 21

3、 1 ( 21?? nn 212. 2.分組求和法 分組求和法：在干脆運用公式法求和有困難時，常將“和式〞中“同類項〞先合并在一起，再運用公式法求和. 例 2、 求數(shù)列的前 n 項和： ，… 2 3 1 , , 7 1 , 4 1 , 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n a a a n解：設 ) 2 3 1 ( ) 7 1 ( ) 4 1 ( ) 1 1 ( 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、 ? n a a a S n n將其每一項拆開再重新組合得〔分組〕 ) 2 3 7 4 1 ( ) 1 1 1 1 ( 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n a a a S n n當 a＝1 時， ＝〔分組求和〕 2) 1 3 ( n n n Sn? ? ? 2) 1 3 ( n n ?當 時， ＝ 1 ? a 2) 1 3 (1 11 1 n naa Snn? ???? 2) 1 3 (1

5、1 n naa a n ? ? ?? ?3. 3.倒序相加法 倒序相加法：假設和式中到首尾間隔 相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項及組合數(shù)相關聯(lián)，那么?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和〔這也是等差數(shù)列前 和公式的推導方法〕. n例 3、求 的值 ? ? ? ? ? 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin 1 sin 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?解：設 …………. ① ? ? ? ? ? 89 s

6、in 88 sin 3 sin 2 sin 1 sin 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? S將①式右邊反序得…………..② 〔反序〕 ? ? ? ? ? 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 sin 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? S又因為 1 cos sin ), 90 cos( sin 2 2 ? ? ? ? x x x x ?①+②得

7、 〔反序相加〕＝89 ) 89 cos 89 (sin ) 2 cos 2 (sin ) 1 cos 1 (sin 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S∴ S＝44.54. 4.錯位相減法 錯位相減法：假如數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項及一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位

8、相減法〔這也是等比數(shù)列前 和公式的推導方法〕. n例 4、 求和： ………………………① 1 3 2 ) 1 2 ( 7 5 3 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn x n x x x S解：由題可知，{ }的通項是等差數(shù)列{2n－1}的通項及等比數(shù)列{ }的通項之積 1 ) 1 2 ( ? ? n x n 1 ? n x設 ………………………. ② 〔設制錯位〕 nn x n x x x x xS ) 1 2

9、 ( 7 5 3 1 4 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①－②得 〔錯位相減〕 n nn x n x x x x x S x ) 1 2 ( 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( 1 4 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?〔裂項求和〕 )] 11 1 ( ) 4131 ( ) 3121 ( ) 21 1 [( 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n Sn＝＝ ) 11

10、1 ( 8 ? ? n 18? nn6.通項轉換法 通項轉換法：先對通項進展變形，發(fā)覺其內在特征，再運用分組求和法求和。例 8 、求 之和. ? ? ?11 111 111 11 1個 n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解：由于〔找通項及特征〕 ) 1 10 ( 91 9 999 91 1 1111 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kk k ? ? ? ? ? ? ? ?個 個∴ ? ? ?11 111 111 11

11、1個 n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝〔分組求和〕 ) 1 10 ( 91 ) 1 10 ( 91 ) 1 10 ( 91 ) 1 10 ( 91 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n＝ ) 1 1 1 1 ( 91 ) 10 10 10 10 ( 9113 2 1 ? ? ? ? ? ? ?個 nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝ 9 1 10) 1 10 ( 1091 n

12、 n? ?? ?＝ ) 9 10 10 ( 811 1 n n ? ? ?7、合并法求和 、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求 Sn.例 9、 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.2021 年全國高考數(shù)學試題分類

13、匯編〔數(shù)列〕1.【2021·全國卷Ⅱ〔文 5〕 】等差數(shù)列 的公差為 2，假設 ， ， 成等比數(shù)列，那么 的前 ? ? n a 2 a 4 a 8 a ? ? n an 項和 = n S〔A〕 〔B〕〔C〕(D) ? ? 1 n n ? ? ? 1 n n ? ? ? 12n n ? ? ? 12n n ?【答案】A2.【2021·全國大綱卷〔理 10〕 】等比數(shù)列 中， ，那么數(shù)列 的前 8 項和等于

14、 { } n a 4 5 2, 5 a a ? ? {lg } n a〔 〕A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C．3.【2021·全國大綱卷〔文 8〕 】設等比數(shù)列{an}的前 n 項和為 Sn，假設 S2=3，S4=15，那么 S6=( )A. 31 B. 32

15、 C. 63 D. 64【答案】C4.【2021·北京卷〔理 5〕 】設 是公比為 的等比數(shù)列，那么 是 為遞增數(shù)列的〔 〕 { } n a q “ 1“ q ? “{ }“ n a充分且不必要條件 必要且不充分條件 . A . B充分必要條件 既不充分也不必要條件 . C . D【答案】D5.【2021·天津卷〔文 5〕 】設