2020年湖南省高中數(shù)學(xué)競賽試題

1、2020 年湖南省高中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（本大題共 10 個小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個答案中，只有一項是符合題目要求的.）1．定義集合運算: .設(shè) ， ，則集合 ? ? B y A x xy z z B A ? ? ? ? ? , , | ? ? 0 , 2 ? A ? ? 8 , 0 ? B的所有元素之和為 B A ?（ ）A．16 B．18 C． 20 D．222．已知 是等比數(shù)

2、列， ，則 的取值范 ? ? n a 41 , 2 5 2 ? ? a a ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? N n a a a a a a n n 1 3 2 2 1圍是（ ）A．B．C． D． ? ? 16 , 12 ? ? 16 , 8 ? ??? ??332 , 8 ? ??? ??332 , 3163．5 名志愿者隨進入 3 個不同的奧運場館參加接待工作，則每個場館至少有一名志愿者的概率為（ ）A．B．

3、C．D． 531518581504．已知 、 為非零的不共線的向量，設(shè)條件 ；條件 對一切 ，不 a b : M ? ? b a b ? ? : N R x ?等式 恒成立．則 是 的 （ ） b a b x a ? ? ? M NA．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分而且必要條件 D．既不充分又不必要條件5．設(shè)函數(shù) 定義在 上，給出下述三個命題： ) (x f R①滿足條件 的函數(shù)圖象關(guān)于點

4、對稱； 4 ) 2 ( ) 2 ( ? ? ? ? x f x f ? ? 2 , 2②滿足條件 的函數(shù)圖象關(guān)于直線 對稱； ) 2 ( ) 2 ( x f x f ? ? ? 2 ? x③函數(shù) 與 在同一坐標(biāo)系中，其圖象關(guān)于直線 對稱.其中，真 ) 2 ( ? x f ) 2 ( ? ?x f 2 ? x命題的個數(shù)是 （ ）A．0 B．1 C．2 D．36．連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦.

5、 半徑為 4 的球的兩條弦 AB、CD 的長度分別等于14．某學(xué)校數(shù)學(xué)課外活動小組，在坐標(biāo)紙上某沙漠設(shè)計植樹方案如下：第 棵樹種植在點 k處，其中 ，當(dāng) 時， ? ? k k k y x P , 1 , 1 1 1 ? ? y x 2 ? k? ? ?? ? ??? ??? ?? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ???. 5251; 52 5 51 5 111k k y yk

6、k x xk kk k其中， 表示實數(shù) 的整數(shù)部分，例如 ，按此方案，第 2020 棵樹 ? ? a a ? ? 2 6 . 2 ? ? ? . 0 6 . 0 ?種植點的坐標(biāo)為 .三、解答題（本大題共 4 小題，共 62 分. 要求有必要的解答過程.）15． （本小題滿分 14 分）設(shè)實數(shù) ，求證： ? ? ? ?, , ? b a???? ? ? ? baab其中等號當(dāng)且僅當(dāng) 或 成立， 為正實數(shù).

7、? ? ? ? b a , ? ? ? ? b a , ? ?,16． （本小題滿分 14 分）甲、乙兩人進行乒乓球單打比賽，采用五局三勝制（即先勝三局者獲冠軍） ．對于每局比賽，甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ．如果將“乙獲得 3231冠軍”的事件稱為“爆出冷門” ．試求此項賽事爆出冷門的概率．17． （本小題滿分 16 分）已知函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值為 ? ? x x x f ? ? ? 1 ln ) ( ? ?? ? ? ?