高中數(shù)學競賽專題-函數(shù)1

1、函數(shù)(一),這里主要研究運用函數(shù)的概念及函數(shù)的性質(zhì)解題,函數(shù)的性質(zhì)通常是指函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等等，在解決與函數(shù)有關的(如方程、不等式等)問題時，巧妙利用函數(shù)及其圖象的相關性質(zhì)，可以使得問題得到簡化，從而達到解決問題的目的.關于函數(shù)的有關性質(zhì)，這里不再贅述，請大家參閱高中數(shù)學教材復習,這里以例題講解應用,一.函數(shù)的對稱性,例1 函數(shù)y = f ( x ) 對任意實數(shù)x，總有 （1）f

2、 (a－x) = f ( b + x )，這里a，b是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結論； （2）f (a－x) =－f ( b + x )，這里a，b是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結論．,∴ PQ垂直直線 ，且被其平分，,【解（1）】 設y = f (a－x) = f ( b + x )則點P (a－x，y)，Q ( b + x， y) 都在函數(shù)y = f (x)的圖像上．

3、,∵,且P、Q兩點縱坐標相等，,∴ P、Q 兩點關于直線 對稱,而P、Q又是曲線y = f (x)上的動點，,∴ 函數(shù)y = f (x)的圖像關于直線,對稱．,【解（2）】設 y= f (a－x)=－f (b + x ) 則點R (a－x，y)，S ( b+x，－y)都在函數(shù)y = f (x) 的圖像上．,∴,,∴線段RS的中點是定點M（ ）．,即R、S兩點關于定點M 對稱，而R、S是

4、曲線y = f (x)上的動點．,∴ 函數(shù)y = f (x)的圖像關于點 M（ ）對稱．,問題:當a=0,b=0函數(shù)f(x)具有什么性質(zhì)?,例2 f ( x )是奇函數(shù)，x＞0時，f ( x ) = x · (4－3x)，那么x＜0時f ( x ) = _______．,,,,,【解法1】x＞0時，f ( x ) = x·(4－3x)，,在其上取三點P1（0，0）、,則它們關于原點的對稱點分別

5、是Q1 (0，0)，,設x＜０時，,∵ Q2在其上， ∴,解之，得a = 3，,∴ x＜０時，,【解法2】 設x＜0，則－x＞0∴ f (－x) = (－x)·(4 + 3x)∵ f ( x )是奇函數(shù)，∴ f (－x) = －f ( x )∴ x＜0時，f ( x ) =－f (－x )=x(4+3x)．,若把問題改為: f ( x )滿足f ( 1+x ) = f (3- x ) ，x＞2時，f ( x ) =

6、 x · (4－3x)，那么x＜2時求 f ( x ) 的解析式.請解答.,例3 已知函數(shù) f ( x ) 對任意實數(shù)a，b都有 ，且f（0）≠0，則f ( x )是,（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）是奇函數(shù)也是偶函數(shù)（D）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù),【講解】由

7、 ，自然聯(lián)想到 ．即y=cosx肯定是符合題意的一個函數(shù)．自然就選（B）．但要把本題改為解答題，又該如何？怎樣用好已知的等式？,【解法1】,∵,∴,∴ f ( b ) = f (－b )且b∈R．∴ f ( x )

8、是R上的偶函數(shù)．由于f ( 0 )≠0，所以f ( x )不是奇函數(shù)．應選（B）．,于是, f ( a )+f (－a ) = 2 f ( 0 )·f ( a ) =2 f ( a )∴ f (－a ) = f ( a )，a∈R∴ f ( x )是R上的偶函數(shù)．而f ( 0 )≠0，故f ( x )不是奇函數(shù)．應選（B）．,例4 函數(shù)y = f ( x )在 (-∞,0] 上是減函數(shù)，而函數(shù) y = f (x

9、+1)是偶函數(shù)．設 ， b = f ( 3 ) ，c = f (arccos (－1))．那么a，b，c的大小關系是____.,【解】 , c = f ( arccos (－1) ) = f ( ? )∵ y = f ( x+1 )是偶函數(shù)∴ y = f ( x )的圖像關于x = 1對稱，于是由y =

10、f ( x )在(-∞,0]上遞減知，f ( x )在[2,+∞)上遞增．∵ f (－2) = f ( 4 ) 而 2＜3＜?＜4∴ f (3)＜f (? )＜f (4)，即b＜c＜a．．,例5.定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對一切實數(shù)x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0僅有101個不同的實數(shù)根，那么所有實數(shù)根的和為( )A.150 B. C.152 D.,,解：由

11、已知，函數(shù)f(x)的圖象有對稱軸x＝于是這101個根的分布也關于該對稱軸對稱.即有一個根就是，其余100個根可分為50對，每一對的兩根關于x＝ 對稱利用中點坐標公式，這100個根的和等于 ×100＝150,,例6.設f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋3)＝－f(x)，當0≤x≤ 時，f(x)＝x，則f(2003)＝( )A.－1B.0C.1D.2003,,解

12、：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)∴ f(x)的周期為6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1,問題：函數(shù)f(x)滿足f(a+x) =f(b-x)且f(c+x)= f(d-x)那么f(x)是不是周期函數(shù)?為什么?若是,周期是多少?,二.函數(shù)的單調(diào)性,例7 已知函數(shù) ，判斷該函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性，并說明理由．,【解法1】 設

13、 ．,∴ f (x1 ) > f (x2 ) 故函數(shù) 是減函數(shù)．,【解法2】,x≥0時， 和 都是增函數(shù)，,從而 是 上的減函數(shù)．,在y軸左側，增減的轉(zhuǎn)折點是x=－2，且先減后增，故[-2,0] 是遞增區(qū)間；,在y軸右側，增減的轉(zhuǎn)折點是x = 2，且先

14、減后增，故[2,+∞) 是遞增區(qū)間．,,,,,例10. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的單調(diào)增區(qū)間．,【講解】很明顯這是一個復合函數(shù)的單調(diào)性問題，所以應“分層剝離”為兩個函數(shù) t=－x2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②,(1)x∈(-∞,-1] 時,函數(shù)①遞增,且t≤1,而t

15、 ∈ (-∞, 1] 時,函數(shù)②也遞增，故(-∞,-1] 是所求的一個單調(diào)增區(qū)間；,(2)x∈ (-1,0]時，函數(shù)①遞增，且t∈(1,2] ，而 t∈(1,2] 時，函數(shù)②遞減，故(-1,0] 是g ( x )的單調(diào)減區(qū)間；,(3)x∈(0,1]時,函數(shù)①遞減，且t∈(1,2] ，而 t∈(1,2],函數(shù)②也遞減，故(0,1]是g ( x )的單調(diào)增區(qū)間；,（4）x∈(1，+∞)時，函數(shù)①遞減，且t∈(－∞，1)而t∈

16、(－∞，1) 時，函數(shù)②遞增，故(1，+∞)是g ( x )的單調(diào)減區(qū)間．綜上知，所求g ( x )的增區(qū)間是,和,例12.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.,解：構造函數(shù)f(x)＝x2001＋x，則 f(3x＋y)＋f(x)＝0注意到f(x)是奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)，所以 3x＋y＝－x 4x＋y＝0,三 函數(shù)方程與迭代,例13解方

17、程：ln( ＋x)＋ln( ＋2x)＋3x＝0,,,解：構造函數(shù)f(x)＝ln( ＋x)＋x則由已知得：f(x)＋f(2x)＝0不難知，f(x)為奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)(證明略)所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x)由函數(shù)的單調(diào)性，得x＝－2x所以原方程的解為x＝0,,,練習.1.設x,y是實數(shù)，且滿足，

18、 求x+y的值；,,,,求cos(x+2y),,3.⑴解方程解方程x+log2(2x-31)=5 (2)解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0(3)解方程：,(2)解：原方程化為(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0 即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)構造函數(shù)f(x)＝x2001＋x原方程等價于f(x＋8)＝f(－