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1、 數(shù)列、不等式 數(shù)列、不等式1.已知前 n 項(xiàng)和 Sn=a1+a2+a3+…+an,則 an=Error! Error!.由 Sn 求 an 時(shí),易忽略 n=1 的情況.[問題 1] 已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和 Sn=n2+1,則 an=________.答案 Error! Error!2.等差數(shù)列的有關(guān)概念及性質(zhì)(1)等差數(shù)列的判斷方法:定義法 an+1-an=d(d 為常數(shù))或 an+1-an=an-an-1(n≥2).(2)等
2、差數(shù)列的通項(xiàng):an=a1+(n-1)d 或 an=am+(n-m)d.(3)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和:Sn= ,Sn=na1+ d.n?a1+an?2n?n-1?2(4)等差數(shù)列的性質(zhì)①當(dāng)公差 d≠0 時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)·d=dn+a1-d 是關(guān)于 n 的一次函數(shù),且斜率為公差 d;前 n 項(xiàng)和 Sn=na1+ d= n2+(a1- )n 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)且常n?n-1?2d2d2數(shù)項(xiàng)為 0.②
3、若公差 d>0,則為遞增等差數(shù)列;若公差 d0)a+b2 ab(1)推廣: ≥ ≥ ≥ (a,b>0).a(chǎn)2+b22a+b2 ab 21a+1b(2)用法:已知 x,y 都是正數(shù),則①若積 xy 是定值 p,則當(dāng) x=y(tǒng) 時(shí),和 x+y 有最小值 2 ; p②若和 x+y 是定值 s,則當(dāng) x=y(tǒng) 時(shí),積 xy 有最大值 s2.14易錯(cuò)警示:利用基本不等式求最值時(shí),要注意驗(yàn)證“一正、二定、三相等”的條件.[問題 7] 已知
4、 a>0,b>0,a+b=1,則 y= + 的最小值是________.1a4b答案 98.解線性規(guī)劃問題,要注意邊界的虛實(shí);注意目標(biāo)函數(shù)中 y 的系數(shù)的正負(fù);注意最優(yōu)整數(shù)解.[問題 8] 設(shè)定點(diǎn) A(0,1),動(dòng)點(diǎn) P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件Error! Error!則|PA|的最小值是________.答案 22易錯(cuò)點(diǎn) 1 忽視對(duì)等比數(shù)列中公比的分類討論致誤例 1 設(shè)等比數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 S3+S
5、6=S9,則數(shù)列的公比 q 是________.錯(cuò)解 -1找準(zhǔn)失分點(diǎn) 當(dāng) q=1 時(shí),符合要求.很多考生在做本題時(shí)都想當(dāng)然地認(rèn)為 q≠1.正解 ①當(dāng) q=1 時(shí),S3+S6=9a1,S9=9a1,∴S3+S6=S9 成立.②當(dāng) q≠1 時(shí),由 S3+S6=S9得 + =a1?1-q3?1-qa1?1-q6?1-qa1?1-q9?1-q∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0.∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴
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