均值-方差分析方法

1、,均值-方差分析方法,一、均值-方差分析的一般性釋義,（一）問題的提出 Markowitz(1952)發(fā)展了一個(gè)在不確定條件下嚴(yán)格陳述的可操作的資產(chǎn)組合選擇理論：均值-方差方法 Mean-Variancemethodology.,馬科維茨(H. Markowitz, 1927～) 《證券組合選擇理論》,,馬科維茨投資組合選擇理論的基本思想為：投資組合是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)與收益的trade-off問題，投資組合通過分散化的投資來對沖

2、掉一部分風(fēng)險(xiǎn)?！癗othing ventured, nothing gained”"For a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk to maximize the return”“Don’t put all eggs into one basket”,一、均值-方差分析的一般性釋義,,（一）馬科維茨均值-方差組

3、合理論 1、基本內(nèi)容： 在禁止融券和沒有無風(fēng)險(xiǎn)借貸的假設(shè)下，以資產(chǎn)組合中個(gè)別資產(chǎn)收益率的均值和方差找出投資組合的有效前沿(Efficient Frontier)，即一定收益率水平下方差最小的投資組合，并導(dǎo)出投資者只在有效組合前沿上選擇投資組合。 欲使投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小，除了多樣化投資于不同的資產(chǎn)之外，還應(yīng)挑選相關(guān)系數(shù)較低的資產(chǎn)。,一、均值-方差分析的一般性釋義,,2、 均值-方差組合選擇的

4、實(shí)現(xiàn)方法： （1）收益——證券組合的期望報(bào)酬 （2）風(fēng)險(xiǎn)——證券組合的方差 （3）風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡——求解二次規(guī)劃,一、均值-方差分析的一般性釋義,,首先，投資組合的兩個(gè)相關(guān)特征：（1）它的期望回報(bào)率（均值）;（2）可能的回報(bào)率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的.其次，理性的投資者將選擇并持有

5、有效率投資組合，即那些在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下的期望回報(bào)最大化的投資組合，或者那些在給定期望回報(bào)率水平上使風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合.,一、均值-方差分析的一般性釋義,,再次，通過對某種資產(chǎn)的期望回報(bào)率、回報(bào)率的方差和某一資產(chǎn)與其它資產(chǎn)之間回報(bào)率的相互關(guān)系（用協(xié)方差度量）這三類信息的適當(dāng)分析，辨識出有效投資組合在理論上是可行的。 最后，通過求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計(jì)算結(jié)果指明各種資產(chǎn)在投資者的投資中所

6、占份額，以便實(shí)現(xiàn)投資組合的有效性——即對給定的風(fēng)險(xiǎn)使期望回報(bào)率最大化，或?qū)τ诮o定的期望回報(bào)使風(fēng)險(xiǎn)最小化。,一、均值-方差分析的一般性釋義,,3、幾個(gè)基本概念 （1）證券投資組合的選擇：如何構(gòu)筑各種有價(jià)證券的頭寸（包括多頭和空頭）來最好地符合投資者的收益和風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡 （2）無差異曲線：對一個(gè)特定的投資者而言，任意給定一個(gè)證券組合，根據(jù)他對期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)的偏好態(tài)度，按照期望收益率對風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)囊?，可以得到一系列滿

7、意程度相同的（無差異）證券組合。所有這些組合在均值方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）坐標(biāo)系中形成一條曲線，這條曲線就稱為該投資者的一條無差異曲線。 Return,一、均值-方差分析的一般性釋義,,（二）均值-方差分析的含義 一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布可以用一些數(shù)值特征—矩來描述： 一階原點(diǎn)

8、矩——均值（數(shù)學(xué)期望） 二階中心矩——方差 均值和方差是同一隨機(jī)變量在同一時(shí)期運(yùn)動軌跡的不同統(tǒng)計(jì)值，分別用于對金融活動收益與風(fēng)險(xiǎn)的衡量,,一、均值-方差分析的一般性釋義,,均值-方差分析的含義是：投資者的效用函數(shù)由資產(chǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)決定，用簡化的數(shù)學(xué)方式表示即投資者的效用函數(shù)僅包括均值和方差兩個(gè)自變量。 期望收益率的衡量：以均值來衡量，是指在未來不確定情況下對投資收益率所有可能的取值的加權(quán)平均。其權(quán)

9、數(shù)為相應(yīng)的概率值。 風(fēng)險(xiǎn)的衡量：以方差來衡量，是未來收益率的所有可能取值對期望收益率的偏離的加權(quán)平均。權(quán)數(shù)仍然為相應(yīng)的概率值。 標(biāo)準(zhǔn)差：也反映未來收益率的所有可能取值對期望收益率的偏離程度。,一、均值-方差分析的一般性釋義,,1、均值的性質(zhì) （1）均值的穩(wěn)定性：以漂移率來衡量均值的固定性 （2）均值的確定性：均值作為一階矩，加總時(shí)不會相互抵消，具有確定性 （3）

10、均值的隨機(jī)性：本身具有一定的隨機(jī)性 （4）均值的相關(guān)性：均值具有記憶效應(yīng),一、均值-方差分析的一般性釋義,,2、方差的性質(zhì)： （1）方差的相關(guān)性：協(xié)方差 （2）方差的對稱性。與均值發(fā)生相同幅度的正偏離或負(fù)偏離，方差是一致的。 （3）方差的穩(wěn)定性： 方差的固定性：在維納過程或標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動中，方差率為1；

11、方差的穩(wěn)定變化：在一般維納過程和普通布朗運(yùn)動中，方差率為b； 方差的非穩(wěn)定變化：在伊藤過程中，方差率與其它資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間有關(guān)，隨這兩個(gè)因素而變動。 Return,一、均值-方差分析的一般性釋義,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,（一）單項(xiàng)資產(chǎn)的投資風(fēng)險(xiǎn)與期望收益

12、 1、不確定條件下的期望收益（均值）：各種可能結(jié)果的期望值（通常用E(X)表示），即所有可能的收益值與其發(fā)生的概率的乘積。 離散型概率分布的期望值： 其中，Xi為隨機(jī)事件的值，P(Xi)為隨機(jī)事件i發(fā)生的概率,,,例1：現(xiàn)有S和U兩項(xiàng)資產(chǎn)收益率概率分布情況如下表所示: 資產(chǎn)的收益狀況

13、 資產(chǎn)的收益率 經(jīng)濟(jì)狀況 概 率 S U 繁榮 0.2 0.25 0.05 適度增長 0.3 0.20 0.10

14、 緩慢增長 0.3 0.15 0.15 衰退 0.2 0.10 0.20 S、U兩資產(chǎn)的期望收益率分別為： E(RS)＝0.2X0.25+0.3X0.20+0.3X0.15+0.2X0

15、.10＝17.5％ E(RU)==0.2X0.05+0.3X0.10+0.3X0.15+0.2X0.26＝12.5％,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,2、單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)：被定義為實(shí)際現(xiàn)金流收益對其預(yù)期現(xiàn)金流收益的背離 ——用方差來描述和衡量風(fēng)險(xiǎn):一個(gè)證券在該時(shí)期的方差是未來收益可能值對期望收益率的偏離（通常稱為離差）的平方的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)是相應(yīng)的可能值的概率。即,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與

16、收益衡量,,上例：S、U兩資產(chǎn)收益率的方差分別計(jì)算如下：,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,小結(jié) 對于單個(gè)證券的持有者而言： 收益指標(biāo)：期望收益 風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)：標(biāo)準(zhǔn)差或方差 Return,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,（二）組合資產(chǎn)的

17、風(fēng)險(xiǎn)與期望收益 資產(chǎn)組合的期望收益是構(gòu)成組合的每一資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均，以構(gòu)成比例為權(quán)重。 每一資產(chǎn)對組合的預(yù)期收益率的貢獻(xiàn)依賴于它的預(yù)期收益率，以及它在組合初始價(jià)值中所占份額，而與其他一切無關(guān)。,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,1、組合資產(chǎn)的收益 （1）兩種證券形成的投資組合的收益率的測定 投資者將資金投資于A、B兩種證券，其投資比重分別為XA和XB，XA+XB=1

18、，則兩證券投資組合的預(yù)期收益率Rp等于每個(gè)預(yù)期收益率的加權(quán)平均數(shù)，即： E（Rp）= XA E（RA） +XBE（RB） 其中：Rp代表兩種證券投資組合預(yù)期收益率； RA、RB分別代表A、B兩種證券的預(yù)期收益率,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,例：下表是投資于國庫券、股票兩種證券的一個(gè)組合，假定其投資比例各占一半，計(jì)算兩種證券投資組合的收益率。

19、 RP=1/2×10%+1/2×10%=10%,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,（2）多種證券投資組合收益率的測定 證券投資組合的預(yù)期收益率就是組成該組合的各種證券的預(yù)期收益率的加權(quán)平均數(shù)，權(quán)數(shù)是投資于各種證券的資金占總投資額的比例，即： Rp代表證券投資組合的預(yù)期收益率； Xi是投資于證i券的資金占總投資額的比例

20、或權(quán)數(shù)； Ri是證券i的預(yù)期收益率； n是證券組合中不同證券的總數(shù)。,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,例：用下表中的數(shù)據(jù)計(jì)算證券投資組合的預(yù)期收益率,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,解：（1）各種證券的預(yù)期收益率如下： （2）各種證券投資組合的預(yù)期收益率：

21、 Return,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,2、組合資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)（1）兩種證券組合的風(fēng)險(xiǎn)測定 ① 協(xié)方差：兩種證券收益變動相互關(guān)系的指標(biāo) 若以A、B兩種證券組合為例，則其協(xié)方差為： 其中，XA代表證券A的收益率；XB代表證券B的收益率； E(XA)代表證券A的收益率的期望值；E(XB)代表

22、證券B的收益率的期望值； σAB代表A、B兩種證券收益率的協(xié)方差。,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,注： 協(xié)方差>0，則兩種證券的回報(bào)率正相關(guān) 協(xié)方差<0，則兩種證券的回報(bào)率負(fù)相關(guān) 協(xié)方差=0，則兩種證券沒有任何互動關(guān)系,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,② 相關(guān)系數(shù)（測量兩種股票收益共同變動的趨勢） ：協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化 相關(guān)系數(shù)的符號取決于協(xié)方差的

23、符號： ，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān) ，完全負(fù)相關(guān) ，兩個(gè)變量完全不相關(guān) ，兩個(gè)變量正相關(guān) ， 完全正相關(guān),,,,,,,在 -1和 +1之間的相關(guān)性可減少風(fēng)險(xiǎn)但

24、不是全部,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,③兩證券組合的方差：表示組合的實(shí)際收益率偏離組合期望收益率的程度，以此來反映組合風(fēng)險(xiǎn)的大小。其公式為： ——組合投資的風(fēng)險(xiǎn)不僅與組合中各個(gè)證券的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)，還與各證券在組合中所占的比重以及證券之間的相互關(guān)系有關(guān)。 因而可以通過選擇組合中的證券和調(diào)整組合中證券的比重來改變組合的風(fēng)險(xiǎn)狀況，即資產(chǎn)組合選擇理論。,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,思考：

25、 1、不同的相關(guān)系數(shù)是否表明資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)大小？ 。即資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)最大 。資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)最小 。資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)小于成分資產(chǎn)完全正相關(guān)時(shí)

26、 2、一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的組合的標(biāo)準(zhǔn)差有什么特征？ 該組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差乘以該組合投資于這部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例。,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,例：利用前表的資料計(jì)算兩種證券投資組合的風(fēng)險(xiǎn)： 解： （1）計(jì)算單一證券的標(biāo)準(zhǔn)差 （2）計(jì)算兩種證券投資組合的協(xié)方差：,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,（3）計(jì)算相

27、關(guān)系數(shù)： （4）計(jì)算兩種證券投資組合的方差和標(biāo)準(zhǔn)差： —— 國庫券的收益率與股票的收益率之間存在著完全的負(fù)相關(guān)關(guān)系,,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,小結(jié)：影響證券投資組合風(fēng)險(xiǎn)的因素： （1）每種證券所占的比例 （2）證券收益率的相關(guān)性 當(dāng)兩種證券投資組合的相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，證券組合能否達(dá)到組

28、合效應(yīng)的目的？如不是，則組合的相關(guān)系數(shù)應(yīng)該為多少？ （3）每種證券的標(biāo)準(zhǔn)差 組合后的風(fēng)險(xiǎn)如果還是等同于各種證券的風(fēng)險(xiǎn)，是否達(dá)到組合效應(yīng)的目的？,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,例：假設(shè) ，投資于這兩種證券的比例為XA=XB=50%，證券組合的方差為： 1、完全正相關(guān)（ ）

29、 2、完全負(fù)相關(guān)（ ）,,,,,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,3、完全不相關(guān)（ ） 當(dāng) 時(shí)，兩證券組合風(fēng)險(xiǎn)最小， 通過 ，令 ，XB=1-XA， 可得A證券的最佳比例為：,,,,,,,

30、,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,前例中，國庫券的投資比例如果為： 代入兩種證券投資組合標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式得：,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,(2)多種證券投資組合風(fēng)險(xiǎn)與收益 多種證券投資組合的收益公式為：,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,證券組合的風(fēng)險(xiǎn)： 其中， 代表第i種和第j種證券在證券投資組合中

31、所占的比重； 代表第i種和第j種證券的協(xié)方差。 用矩陣表示為： 其中 稱為方差-協(xié)方差矩陣： Return,,,,,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,（三）資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)：通過資產(chǎn)組合減弱和消除個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)對投資收益的影響。 證明：假定資

32、產(chǎn)1在組合中的比重是w，則資產(chǎn)2的比重就是1-w。它們的期望收益率和收益率的方差分別記為E(X1)和E(X2)，?21和?22，組合的預(yù)期收益率和收益率的方差則記為E(X)和?2。那么，,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,因?yàn)?1≤?12≤+1，所以有 [w?1-(1-w) ?2]2≤?2≤[w?1+(1-w) ?2]2 即組合的標(biāo)準(zhǔn)差不會大于標(biāo)準(zhǔn)差的組合。

33、事實(shí)上，只要?12<1，就有， ∣?∣<∣w?1+(1-w) ?2∣, 即資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差就會小于單個(gè)資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)，這意味著只要資產(chǎn)的變動不完全一致，單個(gè)有高風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)就能組成單個(gè)有中低風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合，這就是投資分散化的原理。,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,隨著組合中資產(chǎn)數(shù)目的增加，組合收益的方差將越來越依賴于協(xié)方差。若這個(gè)組合中的所有資產(chǎn)不相關(guān)，即當(dāng)隨證券數(shù)目增加，這個(gè)組

34、合的方差將為零（保險(xiǎn)原則）。 風(fēng)險(xiǎn)分散的根本原因在于資產(chǎn)組合的方差項(xiàng)中個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)的影響在資產(chǎn)數(shù)目趨于無窮時(shí)趨于零。 當(dāng)n趨于無窮時(shí)，方差項(xiàng)：,,風(fēng)險(xiǎn)不能完全被消除的原因是？,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,風(fēng)險(xiǎn)不可能完全消除（系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)存在）：資產(chǎn)組合的方差項(xiàng)中的協(xié)方差（反映各項(xiàng)資產(chǎn)間的相互作用）項(xiàng)在資產(chǎn)數(shù)目趨于無窮時(shí)不趨于零。 當(dāng)n趨于無窮時(shí)，協(xié)方差項(xiàng)：,,二、資產(chǎn)

35、組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,相關(guān)結(jié)論：1、資產(chǎn)組合的方差是以協(xié)方差矩陣各元素與投資比例為權(quán)重相乘的加權(quán)平均總值。它與各資產(chǎn)的方差有關(guān)外，還與各資產(chǎn)間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)有關(guān)。2、資產(chǎn)組合的期望收益可以通過對各種單項(xiàng)資產(chǎn)加權(quán)平均得到，但風(fēng)險(xiǎn)卻不能通過各項(xiàng)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均得到(這只是組合中成分資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)為1且成分資產(chǎn)方差相等，權(quán)重相等時(shí)的特例情況)。,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,3、在資產(chǎn)方差或標(biāo)準(zhǔn)差給定下，組合的每對資

36、產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)越高，組合的方差越高。 只要每兩種資產(chǎn)的收益間的相關(guān)系數(shù)小于1，組合的標(biāo)準(zhǔn)差一定小于組合中各種證券的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)。 如果每對資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)為完全負(fù)相關(guān)即為－1且成分證券方差和權(quán)重相等時(shí)，則可得到一個(gè)零方差的投資組合。但由于系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能消除，所以這種情況在實(shí)際中是不存在的。,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,例：給定三種證券的方差—協(xié)方差矩陣以及各證券占組合的比例如下，計(jì)算組合

37、方差： XA=0.5，XB=0.3，XC=0.2,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,解：由上表可知： 證券組合的方差為： Return,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,（四）對單一證券與證券組合風(fēng)險(xiǎn)的另

38、外一種表示（系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)角度） 1、概念 （1）非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)：企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn)。又稱為可分散風(fēng)險(xiǎn)、特有風(fēng)險(xiǎn)、特定資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)。 ——非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)主要通過分散化減少 （2）系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)：整個(gè)市場承受到的風(fēng)險(xiǎn)。又稱為不可分散風(fēng)險(xiǎn)、市場風(fēng)險(xiǎn)。 ——系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)影響所有的資產(chǎn)，不能通過分散化來去除 總風(fēng)險(xiǎn)=系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)+非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn),,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量

39、,,系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)定理: 一種資產(chǎn)的預(yù)期收益僅依賴于它的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。 測度系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn):Beta 或 ? Beta 測度一種資產(chǎn)相對于一種市場平均收益率資產(chǎn)有多大的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn). 進(jìn)攻型股票:?>1； 防御型股票 ：?<1 betas 越大說明系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)越大,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,（四）對單一證券與證券組合風(fēng)險(xiǎn)的另外一種表示（系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)角度） 1

40、、單一證券風(fēng)險(xiǎn)描述 由標(biāo)準(zhǔn)差 測定的任何一種證券i的總風(fēng)險(xiǎn)包括兩個(gè)部分：市場風(fēng)險(xiǎn)（或系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)）及非市場風(fēng)險(xiǎn)（或非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)），即： 其中， 表示證券i的市場風(fēng)險(xiǎn)， 表示證券i的非市場風(fēng)險(xiǎn)。,,,,,二、資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量,,2、證券組合的風(fēng)險(xiǎn)描述 其中，