3.4基本不等式

1、3.4基本不等式,高一數學組 韓輝杰,【命題規(guī)律】高考命題重點考查基本不等式和證明不等式的常用方法，主要出現在選擇題或填空題，一般和其他知識點結合考查，難度中低。解答題若出現，一般“比較含蓄”，也有一定的難度——常和函數、數列等結合，問法有求最值或證明不等式以及恒成立等。 老師：重要不等式重要嗎？ 學生：重要！！ 老師：為什么重要啊？ 學生：重要不等式嘛??！,一正二定三相等,1．數形結合記憶法,在正方形ABCD

2、中有四個全等的直角三角形，設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為,這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 .,a,b,一個不等式：,思考：上式能否取“=”？,一.知識回顧,若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立.,形的角度,數的角度,a2+b2－2ab=(a－b)2≥0,1．數形結合記憶法,一.知識回顧,重要不等式,分析：如果用 去

3、替換a、b,能得到什么結論? x、y應滿足什么條件？,2．變量代換出公式,一.知識回顧,a2+b2≥2ab,分析：如果用 去替換a、b,能得到什么結論? x、y應滿足什么條件？,2．變量代換出公式,一.知識回顧,a2+b2≥2ab,代數解釋：（兩）正數的算術平均數不小于幾何平均數.,3．基本不等式,均值不等式,,幾何解釋：半徑不小于半弦.,一.知識回顧,4．兩種常見形式,配湊定值,一.知識回顧,算術平均數與幾何平

4、均數,一.知識回顧,5．兩個推廣,例1 已知 ，求其最小值，并指出何時取最小值.,二.典型例題,例1 已知 ，求其最小值，并指出何時取最小值.,二.典型例題,例1 已知 ，求其最小值，并指出何時取最小值.,二.典

5、型例題,若去掉x>0呢？,例2 勤勞致富養(yǎng)雞行, 雞舍要求是矩形, 一米籬笆兩元整, 一百平米咋最??？,,二.典型例題,例2 勤勞致富養(yǎng)雞行, 雞舍要求是矩形, 一米籬笆兩元整, 一百平米咋最省？,,二.典型例題,,變式：小伙勤勞又聰明, 送你四米也高興, 回家建個大雞舍,

6、 面積最大行不行？,二.典型例題,例3下列最小值為2的是（ ）,二.典型例題,A、 B、C、 D、,例3下列最小值為2的是（ ）,二.典型例題,A、 B、C、

7、 D、,C,例4 已知x、y都是正數，求證：,二.典型例題,(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.,二.典型例題,(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.,證明∵x，y都是正數,∴ x＋y≥2 >0，,∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0,x2＋y2≥2 >0，,x3＋y3≥2 >

8、0，,∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥,＝８x3y3,即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.,2 ·2 ·2,（當且僅當x=y時，式中取等號）,（當且僅當x=y時，式中取等號）,例5 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積200m2的三級污水處理池（平面圖如上圖）。如果池四周圍墻建造單價400元/m，中間兩道隔墻建造

9、單價為248元/m，池底建造單價為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。,二.典型例題,例5 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積200m2的三級污水處理池（平面圖如上圖）。如果池四周圍墻建造單價400元/m，中間兩道隔墻建造單價為248元/m，池底建造單價為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。,二.典型例題,解：

10、設污水處理池的長為 x m, 總造價為y元，則,y=400· (2x+200/x×2)+248·(2×200/x) +80×200,=800x+259200/x+16000,當且僅當800x=259200/x, 即x=18時取等號.,答：池長18m，寬100/9 m時，造價最低為30400元.,=30400.,三.鞏固練習,1、已知則x y 的最大值是

11、 。,2、若實數 ，且 ，則 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、,三.鞏固練習,1、已知則x y 的最大值是 。,2、若實數 ，且 ，則

12、 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、,D,三.鞏固練習,3、,三.鞏固練習,3、,(4),三.鞏固練習,4、 求函數 的最小值.,5、求函數 的最小值.,三.鞏固練習,4、 求函數

13、 的最小值.,5、求函數 的最小值.,三.鞏固練習,5、求函數 的最小值.,當且僅當…… “=” 無法取得！,三.鞏固練習,6、已知a、b、c都是正數，求證 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc,三.鞏固練習,6、已知a、b、c都是正數，求證 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８a

14、bc,三.鞏固練習,7、某公司租地建倉庫，每月士地占用費 與倉庫到車站的距離d成反比，而每月庫存貨物費 與到車站的距離d成正比，如果在距離車站10公里處建倉庫，這兩項費用和分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站多遠處.,三.鞏固練習,7、某公司租地建倉庫，每月士地占用費 與倉庫到車站的距離d成反比，而每月庫存貨物費 與到車站的距離d成正比，如果在距離車站10公里處建倉庫，這兩項費用和分別為2萬元和8萬

15、元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站多遠處.,四.拓展提升,例1、甲、乙兩電腦批發(fā)商每次在同一電腦耗材廠以相同價格購進電腦芯片。甲、乙兩公司共購芯片兩次，每次的芯片價格不同，甲公司每次購10000片芯片，乙公司每次購10000元芯片，兩次購芯片，哪家公司平均成本低？請給出證明過程。,四.拓展提升,例1、甲、乙兩電腦批發(fā)商每次在同一電腦耗材廠以相同價格購進電腦芯片。甲、乙兩公司共購芯片兩次，每次的芯片價格不同，甲公司每次購10

16、000片芯片，乙公司每次購10000元芯片，兩次購芯片，哪家公司平均成本低？請給出證明過程。,解：設兩次的價格分別為每片a元和b元,四.拓展提升,例2、兩次購買同一種物品,可以有兩種不同的策略.A:不考慮物品價格的升降,每次購買這種物品的數量一定；B:不考慮物品價格的升降,每次購買這種物品所花的錢數一定.若兩次購買這種物品時價格不相同,則兩種策略中那種比較經濟？,四.拓展提升,例2、兩次購買同一種物品,可以有兩種不同的策略.A:不考慮物