“千課萬人”第二屆全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)“學(xué)本課堂”研討觀摩會(huì)——史寧中20150519 義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)基本思想理解與把握

1、義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)基本思想理解與把握,東北師范大學(xué)史寧中2015. 4,報(bào)告目錄,一、數(shù)學(xué)的基本思想二、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的抽象三、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的推理四、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的模型,一、數(shù)學(xué)的基本思想,1. 課程目標(biāo)：由雙基到四基（實(shí)現(xiàn)教育理念的轉(zhuǎn)變） 過去的教育理念：以知識(shí)為本 教學(xué)大綱 關(guān)心問題是： 應(yīng)當(dāng)教那些內(nèi)容；應(yīng)當(dāng)教到什么程度 考核內(nèi)容是： 規(guī)

2、定的內(nèi)容是否教了；學(xué)生的掌握是否達(dá)到要求 教學(xué)目標(biāo)是： 基礎(chǔ)知識(shí)（概念記憶與命題理解）扎實(shí)（記憶） 基本技能（證明技能與運(yùn)算技能）熟練（訓(xùn)練） 教學(xué)形式是： 課堂、教材、教師（凱洛夫的三中心論）,現(xiàn)代教育理念：以人為本 工作目標(biāo)：育人為本（綱要）、立德樹人（十八大） 以人為本：以學(xué)生的發(fā)展為本，站在學(xué)生立場(chǎng)思考問題。

3、人的成功依賴：知識(shí)技能、把握機(jī)遇、思維方法數(shù)學(xué)教育：不僅要讓學(xué)生記住一些數(shù)學(xué)的知識(shí)、掌握一些數(shù)學(xué)的技能，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。一堂好課：把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累思維的經(jīng)驗(yàn)。終極目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。如何實(shí)現(xiàn)？,,,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程總目標(biāo) 四基：基

4、礎(chǔ)知識(shí)、基本技能 + 基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 四能：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題 + 分析問題、解決問題 科學(xué)：敢于質(zhì)疑、善于思考、實(shí)事求是、一絲不茍基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：思維的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)（過程性目標(biāo)的目標(biāo)） 會(huì)思考問題、會(huì)做事情能力的培養(yǎng)，依賴的不是說教和理解，依賴的是學(xué)生參與其中的活動(dòng)，依賴的是學(xué)生在這個(gè)過程中自己的思考和感悟，這種能力是經(jīng)驗(yàn)的積累。,,2. 數(shù)學(xué)基本核心素養(yǎng)（核心詞、核心概念）如何理解數(shù)

5、學(xué)：數(shù)學(xué)的研究源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過基于抽象結(jié)構(gòu)的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、一般結(jié)論，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律。數(shù)學(xué)不僅是計(jì)算和推理的工具，數(shù)學(xué)還是表達(dá)與交流的語言，數(shù)學(xué)承載著思想和文化。 教學(xué)內(nèi)容 – 核心素養(yǎng) – 數(shù)學(xué)思想：質(zhì)量監(jiān)測(cè)四個(gè)原則義務(wù)教育階段（8個(gè)）{核心詞、核心概念} 數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、 運(yùn)算能力、推理能力、模型思想高中教育階段（6個(gè)）

6、 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、 運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析,3. 什么是數(shù)學(xué)的基本思想 圖形結(jié)合、遞歸、換元、等量替換？ 確定數(shù)學(xué)的基本思想的原則： 數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展必須依賴的思想 學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)與沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維差異 抽象、推理、模型 義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的責(zé)任：

7、 感悟抽象、懂得推理,,通過抽象：現(xiàn)實(shí) → 數(shù)學(xué) 把研究對(duì)象、以及對(duì)象之間的關(guān)系形成概念 從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部，數(shù)學(xué)具有一般性通過推理：數(shù)學(xué) → 數(shù)學(xué) 從假設(shè)前提出發(fā)，通過推理得到數(shù)學(xué)的結(jié)果 數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，數(shù)學(xué)具有邏輯性通過模型：數(shù)學(xué) → 現(xiàn)實(shí) 解決現(xiàn)實(shí)世界中的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題 從數(shù)學(xué)內(nèi)部到現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)具

8、有應(yīng)用性 得到數(shù)學(xué)的基本特征： 一般性（抽象）、嚴(yán)謹(jǐn)性（邏輯）、應(yīng)用的廣泛性（模型）,,,數(shù)學(xué)思想：不是知識(shí)，不是靠講解讓學(xué)生理解 是創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生感悟教學(xué)要點(diǎn)：感悟什么？（教師對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的把握） 如何感悟？（情境創(chuàng)設(shè)、教師引導(dǎo)）參見著作：基本概念與運(yùn)算法則 -- 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題， 高教社，201

9、3年通過抽象得到概念定義有兩種方法：對(duì)應(yīng)的方法、內(nèi)涵的方法。建議：開始用對(duì)應(yīng)的方法（感悟），以后用內(nèi)涵方法（理解） 數(shù)是什么？數(shù)的本質(zhì)是什么？表示數(shù)的關(guān)鍵是什么？數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，本質(zhì)是大小關(guān)系：從數(shù)量的多少到數(shù)的大小。,二、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的抽象,,開始用對(duì)應(yīng)的方法： 三個(gè)蘋果、三只雞 → □□□ ←→ 3 （去掉物理屬性）對(duì)應(yīng)方法 負(fù)數(shù)與自然數(shù)：數(shù)量相等、意義相反。以后用內(nèi)涵的方法： 自然

10、數(shù)是一個(gè)一個(gè)多起來的（算數(shù)公理體系、后繼數(shù)） 1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1， …… 如何認(rèn)識(shí) 10000 ? 10個(gè)1000？10個(gè)千？ 比 9999 多 1（讀法可以不同，表達(dá)必須一致）,,數(shù)的符號(hào)表達(dá)：把握本質(zhì)、表達(dá)簡(jiǎn)潔、具有一般性讀數(shù)的關(guān)鍵：十個(gè)符號(hào) + 數(shù)位如何讀 2002：符號(hào) 0 很重要

11、 1 ～ 10 → 1 ～ 9 + 0、10 數(shù)位與數(shù)不同 數(shù)位：從左到右、從小到大 個(gè)(ones)、十(tens)，“十”是十個(gè)“個(gè)” “萬”是十個(gè)“千” 需要知道十進(jìn)制、不需要知道計(jì)數(shù)單位 數(shù)：10 = 9 + 1，10000 = 9999 + 1 0 對(duì)于加法很重要：相反數(shù)；減法：自然

12、數(shù)集合 → 整數(shù)集合1 對(duì)于乘法很重要：倒數(shù)； 除法：整數(shù)集合 → 有理數(shù)集合,,數(shù)的運(yùn)算 與數(shù)的抽象一樣，有兩種方法定義加法：對(duì)應(yīng)、內(nèi)涵。 內(nèi)涵：□□□←□ 3 + 1 = 4 ？ 4 = 3 + 1 → 3 + 1 = 4 對(duì)應(yīng)： □□□ □□□□ 哪邊多

13、 □□□←□ □□□□ 哪邊多？ → 3 + 1 = 4 理解等號(hào)的意義：等號(hào)兩邊講兩個(gè)故事，兩個(gè)故事量相等。 方程的定義？方程與函數(shù)的關(guān)系？,,如何定義乘法？為什么負(fù)負(fù)得正？乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算：2 + 2 + 2 = 2 × 3 = 6 (-2) ×

14、3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6 2 × (-3) = -6 ？在自然數(shù)集合上，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。在整數(shù)集合上？乘法的本質(zhì)。兩個(gè)性質(zhì)：0 × a = 0；1 × a = a 兩個(gè)法則：a × b = b × a;

15、 (a + b) × c = a × c + b × c連同性質(zhì)和法則，把乘法由自然數(shù)集合擴(kuò)張到整數(shù)集合。 1 × 1 = 1， (-1) × 1 = -1 1 × (-1) = -1, (-1) × (-1) = 1,,點(diǎn)、線、面的抽象0 維是點(diǎn)、1 維是線、2 維是面、3 維是體。日常生活看到

16、的幾何圖形都是三維的，點(diǎn)線面是抽象的結(jié)果。,,角的抽象 角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形?！?稱下面的圖形為角。角由兩條線段所夾部分組成，這兩條線段的一個(gè)端點(diǎn)重合。稱這兩條線段為角的邊，角的大小與邊長(zhǎng)無關(guān)。（小學(xué)：畫同樣大小的角）（初中：如何判斷直角） 幾何作圖（畫角平分線）的教育價(jià)值：培養(yǎng)想象力。,,抽象小結(jié)抽象出數(shù)學(xué)研究對(duì)象、以及研究對(duì)象的關(guān)系和運(yùn)算法則： 把外部世界數(shù)量和數(shù)量

17、關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部。 概念：自然數(shù)、負(fù)數(shù)；點(diǎn)、線、面、體、角 關(guān)系：數(shù)的大小關(guān)系；兩點(diǎn)決定一條直線、三點(diǎn)決定一個(gè)平面 運(yùn)算：加法 、減法、乘法、除法；距離、面積、體積小學(xué)數(shù)學(xué)主要研究三個(gè)關(guān)系：數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、隨機(jī)關(guān)系抽象的東西不存在：現(xiàn)實(shí)中沒有 2，只有具體的兩匹馬、兩頭牛抽象的東西是理念的存在 鄭板橋：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。,,三

18、、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的推理,推理：數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展依賴的是邏輯推理數(shù)學(xué)的結(jié)論都是命題 數(shù)學(xué)命題：可供正確或者錯(cuò)誤判斷的陳述 可以判斷。下面陳述不是數(shù)學(xué)命題 這個(gè)三角形是美的 僅供判斷。下面兩個(gè)陳述都是數(shù)學(xué)命題 三角形內(nèi)角和180度

19、 三角形內(nèi)角和120度直接推理：對(duì)命題直接判斷一般推理：一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過程,,數(shù)學(xué)命題主要有兩種形式 性質(zhì)命題：A 是 B。充分條件： A → B 必要條件： B → A 充分不必要：兩個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)。 必要不充分：數(shù)可以比較大小。 充分且必要：直角三角形是一條邊長(zhǎng)的平方等于其他兩條邊

20、長(zhǎng)平方之和的三角形。數(shù)學(xué)定義必須充分必要：稱含有未知數(shù)的等式為方程。？什么是數(shù)學(xué)的推理？什么是有邏輯的推理？ 蘋果是酸的，酸的是一種味道，所以蘋果是一種味道。？ 三角形內(nèi)角和是180度，180度是平角，所以三角形是平角。？,,邏輯推理：具有傳遞性的推理。在數(shù)學(xué)上有兩種形式演繹推理：從大范圍內(nèi)成立的命題推斷小范圍內(nèi)命題也成立。 凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。結(jié)果是必然成立的，用于驗(yàn)證知識(shí)

21、。是數(shù)學(xué)教學(xué)中推理的重點(diǎn)。歸納類比：從小范圍內(nèi)成立的命題推斷更大范圍類似命題成立。 蘇格拉底是人、蘇格拉底有死，柏拉圖是人、柏拉圖 有死，所以凡人都有死。結(jié)果是或然成立的，用于發(fā)現(xiàn)知識(shí)。是數(shù)學(xué)教學(xué)中推理的弱點(diǎn)。 蘇格拉底不到80歲死去，柏拉圖不到80歲死去，所以 凡人不到80歲死去。,演繹推理,演繹推理需要前提：公理或者假設(shè)?；厩疤?

22、 同一律：a = a，（a 屬于 A 或者 a不屬于 A ）。 矛盾律： a → P 和 a → Pc 不能同時(shí)成立。 排中律： a → P 和 a → Pc 必有一個(gè)成立。命題 素?cái)?shù)有無數(shù)多個(gè)。（反證法）證明 假設(shè)素?cái)?shù)有限個(gè)（歸謬假設(shè)）。 比如只有n個(gè)素?cái)?shù)，表示為：p1,…,pn。 令 p = p1 ...pn + 1。 因?yàn)閜不能被 p1,…,pn中任何一個(gè)

23、素?cái)?shù)整除，所以 p 是與 上述n個(gè)素?cái)?shù)不同的素?cái)?shù)，與只有n個(gè)素?cái)?shù)不符（矛盾律）。 假設(shè)錯(cuò)誤。因此，有無數(shù)多個(gè)素?cái)?shù)（排中律）。,,“數(shù)與代數(shù)”演繹推理的前提（基本事實(shí)）命題1 等式（不等式）關(guān)系具有傳遞性。 a = b (a ﹥ b），b = c (b ﹥ c） → a = c (a ﹥ c）命題2 等式（不等式）兩邊加減相同量，等式（不等式）不變。

24、 a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c） a - c = b - c (a - c ﹥ b - c）,演繹推理,有理數(shù)加法的定義？加上一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)大。符號(hào)表示：對(duì)于任意的數(shù) a 和正數(shù) b，有 a + b ＞ a。 因?yàn)?b 為正數(shù)，所以 b ＞ 0

25、在上面不等式兩邊分別加上 a，由命題 2 得到 a + b ＞ a 結(jié)論成立。類似方法可以證明對(duì)稱命題：加上一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)小。,演繹推理,減去一個(gè)正數(shù)等于加上這個(gè)正數(shù)的相反數(shù) 減去一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)小用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這個(gè)命題：b ＞ 0，則 a - b = a + (-b)證明：因?yàn)椤皽p法是加法逆運(yùn)算”： a - b = x ←→ a = b + x

26、 由命題2，等式的兩邊分別加上（-b）等式不變： a + (-b) = b + (-b) + x。 根據(jù)相反數(shù)的定義：a + (-b) = x。由命題 1： a - b = x = a + (-b),演繹推理,減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上一個(gè)正數(shù)減去一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)大用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這個(gè)命題 a - (-

27、b) = a + b證明：令 x = a + b。等式兩邊加 b 的相反數(shù)（-b），由命題2 x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的兩邊同時(shí)減去(-b)，再由命題2： x + (-b) – (-b) = a – (-b) 因?yàn)橥瑪?shù)相減為 0：x = a – (-b)。由命題1： a - (-b) = a + b,,圖形

28、的運(yùn)動(dòng)（變換）：參照物平移：參照物是一條射線旋轉(zhuǎn)：參照物是一條射線軸對(duì)稱：參照物是一條直線不變量是本質(zhì)：兩點(diǎn)間距離,演繹推理,演繹推理只能用來驗(yàn)證知識(shí)，不能用來發(fā)現(xiàn)知識(shí)。論證問題的形式是： 已知 A 求證 B其中 A 和 B 都是確定性命題，沒有新的知識(shí)。發(fā)現(xiàn)知識(shí)需要下面兩種推理： 從條件預(yù)測(cè)結(jié)果的推理， 從

29、結(jié)果探究成因的推理需要?dú)w納推理：從經(jīng)驗(yàn)過的東西推斷未曾經(jīng)驗(yàn)的東西 從小范圍成立的命題推斷更大的范圍類似命題,歸納推理,歸納推理需要的前提：經(jīng)驗(yàn)或者想象經(jīng)驗(yàn)：從個(gè)別到一般，從具體到符號(hào) 加法交換律 3 + 5 = 8，5 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15，9 + 6 = 15 → 6 + 9 = 9 + 6

30、 3 + (-2) = 1，(-2) + 3 = 1 → 3 + (-2) = (-2) + 3 → a + b = b + a結(jié)論的正確與否需要演繹推理的證明,歸納推理,探究成因混合運(yùn)算：先括號(hào)、先乘除后加減。為什么？ (3 + 2) × 6 = 5 × 6 = 30 3 + 2 × 6

31、 = 3 + 12 = 18舉例說明上： 一隊(duì)同學(xué)，每排3名女生2名男生，共6排，問有多少同學(xué)。下：操場(chǎng)上有3名同學(xué)，又來了一隊(duì)同學(xué)，2人一排共6排，問現(xiàn) 在操場(chǎng)上有多少同學(xué)。 現(xiàn)在同學(xué)數(shù) = 原來同學(xué)數(shù) + 后來同學(xué)數(shù) = 3 + 2 × 6 混合運(yùn)算講兩個(gè)以上的故事。除分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù),,如何得到和差化積的公式：a2–b2 = (a-b)(

32、a+b)？用歸納的方法問題化簡(jiǎn)：b = 1，a2–b2 = a2 – 1逐步嘗試： a = 2， 4 – 1 = 3 a = 3, 9 – 1 = 8 a = 4, 16 – 1 = 15 a = 5, 25 - 1 = 24

33、 a = 6, 36 – 1 = 35發(fā)現(xiàn)具體規(guī)律：35 = 5 × 7 = (6-1)(6+1) 24 = 4 × 6 = (5-1)(5+1) ……猜想一般規(guī)律：a2 – 1 = (a-1)(a+1)證明一般規(guī)律：還原一般問題：a2 - b2 = (a-b)(a+b),歸納推理,類比的方法：幾何 一個(gè)點(diǎn)把直線分為兩個(gè)部分。

34、如何表達(dá)？?jī)蓚€(gè)點(diǎn)呢？ 一條直線把平面分兩個(gè)部分。如何表達(dá)？?jī)蓷l直線呢？ 一個(gè)平面把空間分兩個(gè)部分。如何表達(dá)？?jī)蓚€(gè)平面呢？數(shù)學(xué)推理：通過歸納推理發(fā)現(xiàn)、提出命題 通過演繹推理證明、得到命題歸納推理和演繹推理都是邏輯推理，因此數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性。,,四、義務(wù)教育數(shù)學(xué)中的模型,模型：使數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)世界。 模型是用數(shù)學(xué)的語言講述的是現(xiàn)實(shí)世界的故事。 模型是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。

35、 課標(biāo)中主要要求兩個(gè)模型 總量模型（加法模型）：總量 = 部分 + 部分 部分 = 總量–部分 → 序列模型：現(xiàn)在 = 過去 + 變化 路程模型（乘法模型）： 路程 = 速度 ×時(shí)間 速度 = 路程 / 時(shí)間工程模型、植樹模型,,考察學(xué)生思維能力 五年一班和

36、五年二班舉行跳繩比賽，每班派10人參加比賽。 現(xiàn)在已經(jīng)賽完9人，將派最后1名上場(chǎng)。五年一班可以在A、B 兩名同學(xué)中選出。這兩名同學(xué)最近成績(jī)?nèi)缦拢?A: 21, 35, 39, 23, 40, 25 B: 27, 29, 31, 33, 28, 32你建議讓哪位同學(xué)上場(chǎng)比賽？建議的理由是什么？,,如果在我國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中 一方面保持“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核，一方面又添加了“基本思想”和

37、“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，必將會(huì)出現(xiàn)既有“演繹能力”又有“歸納能力”的培養(yǎng)模式。就必將會(huì)出現(xiàn)“外國(guó)沒有的我們有，外國(guó)有的我們也有”的局面，到了那一天，我們就能自豪地說，中國(guó)的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于世界。,,謝謝！,,改造于《九章算術(shù)》方程篇第八題。在漢朝的時(shí)候，有一個(gè)人做了三次牲畜買賣，收支情況如下： 第一次 賣牛收入24錢，賣羊收入25錢，買豬支出39錢，合計(jì)收入10錢； 第二次 賣牛收入36錢，買羊支出45錢，賣豬收入

38、90錢，合計(jì)收支相當(dāng)； 第三次 買牛支出60錢，賣羊收入30錢，賣豬收入24錢，合計(jì)支出6錢。如何用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)？,,文字形式 牛 羊 豬 合計(jì)第一次 收入24 收入25 支出39 收入10第二次 收入36 支出45 收入90 0第三次 支出60 收入30

39、收入24 支出6數(shù)字形式 牛 羊 豬 合計(jì)第一次 24 25 -39 10第二次 36 -45 90 0第三次 -60 30 24 -6負(fù)數(shù)與自然數(shù)：數(shù)量相等（絕對(duì)值

40、）、意義相反。,,,除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。為什么？ 有鵝4只，是鴨子的三分之一，問有幾只鴨子？教學(xué)目的：4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12為什么用除法：有鵝4只，是鴨子的2倍，問有幾只鴨子？為什么乘倒數(shù)：破題，解釋什么是1/3 1只鵝對(duì)應(yīng)3只鴨子，2只鵝對(duì)應(yīng)6只鴨子，3只鵝對(duì)應(yīng)9只鴨子， 所以：4只鵝對(duì)應(yīng)12只鴨子。,,,質(zhì)量監(jiān)測(cè)四個(gè)原則1.不要求計(jì)算速