矩陣相似的性質(zhì)與應(yīng)用的研究

1、1矩陣相似的性質(zhì)與應(yīng)用的研究1引言矩陣相似的理論是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一，同時(shí)也是教學(xué)中的難點(diǎn)之一，特別是矩陣相似與可對(duì)角化矩陣問題，在各個(gè)版本的數(shù)學(xué)類圖書中，往往將這兩個(gè)問題緊湊的聯(lián)系在一起。矩陣相似的概念是為深入研究矩陣特性而提出的，其中一部分的問題可以轉(zhuǎn)化為與一個(gè)對(duì)角化矩陣相似問題進(jìn)而使問題研究簡(jiǎn)化，而另一些矩陣不能與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，那么這類問題就只能用定義或者若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型來解決。由于矩陣相似的應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛。本文主要是從矩陣

2、相似定義以及各種性質(zhì)的理論基礎(chǔ)上直接引入矩陣在微分方程、自動(dòng)控制理論基礎(chǔ)等領(lǐng)域應(yīng)用的實(shí)例并由此進(jìn)行研究，也使這部分內(nèi)容能夠相互融合起來，更有利于學(xué)習(xí)者的掌握和應(yīng)用。2矩陣相似的定義與基本性質(zhì)2.12.1矩陣相似的定義矩陣相似的定義令nmCS??為非奇異矩陣，考察矩陣nmCA??的線性變換ASSB1??令線性變換的特征值為?，對(duì)應(yīng)的特征向量為y，即ByBy??將式ASSB1??代入上式，即有yASyS???1或)()(SySyA??令Sy

3、x?或xSy1??，則式)()(SySyA??可以寫作xAx??比較yBy??和xAx??兩式可知，矩陣A和ASSB1??具有相同的特征值，并且矩陣B的特征向量y是矩陣的特征向量x的線性變換，即xSy1??。由于A3呢？我們逐步解決這個(gè)問題。首先設(shè)想矩陣能相似與一個(gè)對(duì)角矩陣，即設(shè)A(1)??????????????????????nAPP????211因而有(2)?????????????????????nPAP????21若把寫成分塊