二元函數(shù)的極值與最值

1、二元函數(shù)的極值與最值二元函數(shù)的極值與最值二元函數(shù)的極值與最值問題已成為近年考研的重點(diǎn)，現(xiàn)對(duì)二元函數(shù)的極值與最值的求法總結(jié)如下：1二元函數(shù)的無(wú)條件極值二元函數(shù)的無(wú)條件極值(1)二元函數(shù)的極值一定在駐點(diǎn)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)取得。對(duì)于不可導(dǎo)點(diǎn)，難以判斷是否是極值點(diǎn)；對(duì)于駐點(diǎn)可用極值的充分條件判定。(2)二元函數(shù)取得極值的必要條件必要條件：設(shè)在點(diǎn)處可微分且)(yxfz?)(00yx在點(diǎn)處有極值，則，，即是駐點(diǎn)。)(00yx0)(00?yxfx

2、0)(00?yxfy)(00yx(3)二元函數(shù)取得極值的充分條件充分條件：設(shè)在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi))(yxfz?)(00yx有連續(xù)上二階偏導(dǎo)數(shù)，且，令，?)(00yxfx0)(00?yxfyAyxfxx?)(00，，則Byxfxy?)(00Cyxfyy?)(00當(dāng)且A0，f為極小值；02??ACB)(00yx時(shí)，不是極值點(diǎn)。02??ACB)(00yx注意：注意：當(dāng)B2－AC=0時(shí)，函數(shù)z=f(xy)在點(diǎn)可能有極值，也可能沒有)(00yx極值，需

3、另行討論例1求函數(shù)z=x3y2－2xy的極值【分析分析】可能極值點(diǎn)是兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點(diǎn)即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值.【解】先求函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)：，yxxz232????xyyz22????xxz622???22?????yxz222???yz再求函數(shù)的駐點(diǎn)令=0，=0，得方程組xz??yz?????????.0220232xyyx求得駐點(diǎn)(0，0)、），（32

4、32所以，，，61)339(22????xzA21)339(2??????yxzB35)339(22????yzC故，又，從而點(diǎn)(93)是z(xy)的極小值點(diǎn)，極小值為03612???BAC061??Az(93)=3.類似地，由，，，61)339(22????????xzA21)339(2????????yxzB35)339(22????????yzC可知，又，從而點(diǎn)(93)是z(xy)的極大值點(diǎn)，極03612???BAC061???A

5、大值為z(93)=3.【評(píng)注評(píng)注】本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關(guān)鍵是求可能極值點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意xyz滿足原方程。2二元函數(shù)的條件極值二元函數(shù)的條件極值拉格朗日數(shù)乘法：設(shè)某領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，引入輔助函數(shù)在點(diǎn))()(yxyxf?)(00yx)()()(yxyxfyxF?????解聯(lián)立方程組????????????????????0)(0)()(0)()(yxyxyxfyFyxyxfxFyyxx?????得可能是在條件下的極值點(diǎn))(0