八年級數(shù)學(xué)競賽講座第十一講 等腰三角形的性質(zhì)

1、第十一講第十一講等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)若按邊(角)是否相等分類，兩邊(角)相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是一類特殊三角形，它的兩底角相等；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合(簡稱三線合一)，特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為60解與等腰三角形相關(guān)的問題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運(yùn)用等腰三角形的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計算、線段相等的證明、直線位置關(guān)系的證明等問題提供了新的

2、理論依據(jù)，因此，重視全等三角形的運(yùn)用，又不囿于全等三角形，善于運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑例題求解例題求解【例1】如圖AOB是一鋼架，且∠AOB=10，為使鋼架更加堅固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF、FG、GH……添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管根(山東省聊城市中考題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥通過角度的計算，確定添加鋼管數(shù)的最大值注角是幾何中最活躍的元素，與角相關(guān)的知識異常豐富，在三角形中，角又有獨(dú)特的等量關(guān)系，如三角形

3、內(nèi)角和定理、內(nèi)外角關(guān)系定理等腰三角形兩底角相等，利用這些定理可以找到角與角之間的“和”、“差”、“倍”、“分”關(guān)系隨著知識的豐富，我們分析問題、解決問題的方法和工具隨之增加，因此，在使用什么方法解決問題時，需要綜合與選擇【例2】如圖，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，則∠BAC的度數(shù)為（)A30D32C36D40(武漢市選拔賽試題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥圖中有很多相關(guān)的角，用∠BAC的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠BAC的方程【例3】如圖，

4、在△ABC中，已知∠A=90，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，問：當(dāng)點(diǎn)D滿足什么條件時，∠ADB＝∠CDF，請說明理由(安徽省競賽題改編題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥本例是探索條件的問題，可先假定結(jié)論成立，逐步逆推過去，找到相應(yīng)的條件，若∠ADB＝∠CDF，這一結(jié)論如何用因∠ADB與∠CDF對應(yīng)的三角形不全等，故需構(gòu)造全等三角形，而作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是等腰三角形中一條常用輔助線【例4】如圖，在△AB

5、C中，AC＝BC，∠ACB=90，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，且AE=BD求證：BD是∠ABC的角平分線21(北京市競賽題)AB、AC于點(diǎn)F、F，給出以下四個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③S=SAEPF四邊形21；④EF=AP當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的是ABC?()A1個B2個C3個D4個(蘇州市中考題)7如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC

6、＝AE，BC＝BF，則∠ECF＝()A60B45C30D不確定8如圖，在等邊△ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是()A45D55C60D75(菏澤市中考題)9在△ABC中，已知AB＝AC，且過△ABC某一頂點(diǎn)的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形，試求厶ABC各內(nèi)角的度數(shù)(廣州市中考題)10如圖，已知A、D兩點(diǎn)分別是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，連結(jié)GH、AD，延長AD交BC于M，延長DA交EF于N，G

7、是FD與AB的交點(diǎn)，H是ED與AC的交點(diǎn)(1)請寫出三個不同類型的、必須經(jīng)過至少兩步推理才能得到的正確結(jié)論（不要求寫出證明過程）；(2)問FE、GH、BC有何位置關(guān)系試證明你的結(jié)論(江西省中考題)11如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90，AC=BC，D為DC的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F求證：AB垂直平分DF(河南省中考題)12如圖，O為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD＝DA，BE＝AB，∠DBE＝∠DBC，則